Betragsgleichung lösen?
Ich habe nun jede einzelne Aufgabe falsch berechnet, ich verstehe einfach nicht, wie ich hier korrekterweise vorgehen muss..
Wie löse ich Betragsgleichungen korrekt und wo liegt mein Fehler ? (Lösung müsste im ersten Fall eigentlich x > -1 lauten)
2 Antworten
Wie lautet denn die richtige Ausgangs(un)gleichung...?
ln(x+1) ist erst einmal eh nur für x>-1 definiert, da das Argument (=Wert in Klammern) des ln größer Null sein muss, d. h. heißt hier: x+1>0 <=> x>-1.
Und soll hier z. B. |ln(x+1)|>=0 sein, dann gilt das wegen des Betrags "natürlich" für den kompletten Definitionsbereich, also für x>-1, da der Betrag einer Zahl immer mindestens Null ergibt!
Ansonsten gilt allgemein für |ln(x+1)|=a mit a>=0: [für a<0 gibt es keine Lösung!]
1.Fall/Lösung: ln(x+1)=a für ln(x+1)>=0 <=> x>=0
=> x+1=e^a
<=> x=e^a-1
2.Fall/Lösung: -ln(x+1)=a für ln(x+1)<0 <=> x<0
=> ln(x+1)=-a <=> x+1=e^(-a) <=> x=e^(-a)-1
D. h. |ln(x+1)|=a hat die beiden Lösungen x1=e^a - 1 und x2=1/e^a - 1.
Bis dahin stimmt alles, der ln(x+1) ist nur positiv, wenn x >= 0 ist. Nun musst du auch für ln(x+1) < 0 ansehen. Beide Ergebnisse zusammen ergeben dann x>-1