Jordan-Blöcke?

Aufgabe

Lösung

Könnte mir jemand bitte Teilaufgabe c erklären? Warum haben die Jordanblöcke genau die Länge 2. Ich verstehe auch die Basis {b1, phi(b1) - b1 , ... } nicht ganz. Wozu brauchen wir sie?

Answer 1

[eterneladam]

Wenn man für ein Jordankästchen, das grösser als 2x2 ist, die Diagonale ausnullt (d.h. Phi - Id), dann muss man das mehr als einmal mit sich selbst multiplizieren, damit die Nebendiagonale "rauswandert", d.h. dass man die Nullmatrix erhält.

Die Vektoren bi - Phi(bi) sind linear unabhängig, weil die bi zusammen mit den Phi(bi) eine Basis bilden (Aufgabenteil (b)). Der Kern( Phi - Id ), also der Eigenraum zur 1, hat somit höchstens Dimension n.

Die algebraische Vielfachheit ist 2n, die geometrische ist n, es gibt n Jordankästchen.