Wie kommst Du denn auf 0,06? Selbst wenn ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten vor dem Aufsummieren auf 2 Nachkommastellen runde kommt 0,05 raus (was immer noch näher am exakten Ergebnis von 0,0548 ist als 0,06 !). Ist vielleicht Ansichtssache, aber 9,5 % über dem richtigen Ergebnis halte ich für recht viel - auch wenn es absolut betrachtet nur 52 Zehntausendstel Differenz sind...

Generell: Um die Fläche zu bestimmen, die von zwei Graphen eingeschlossen wird, integriert man von Schnittstelle zu Schnittstelle die "Differenzfunktion" der beiden Funktionen. Sieht (oder kennt) man den Verlauf, rechnest Du obere Funktion minus untere, also hier g-f, und erhältst so direkt ein positives Ergebnis.

Sind die Graphen nicht sichtbar/bekannt, musst Du erst einmal die Schnittstellen bestimmen, indem Du beide Graphen gleichsetzt (also f(x)=g(x)) und nach x auflöst und dann den Betrag des Integrals bestimmst.

Bzgl. Deiner Aufgabe: Die obere Fläche würde ich wie oben beschrieben mit dem Integral von (g-f) in den Grenzen -1 bis 3 bestimmen. Wenn Du dir die Funktionsterme anschaust, wirst Du evtl. erkennen, dass h(x)=f(x)-g(x) ist. D. h. es wird von der "kleineren" (bezogen auf den Bereich -1 bis 3) Funktion die "größere" abgezogen, daher erhältst Du für die untere Fläche "erst einmal" ein negatives Ergebnis. Das bedeutet umgekehrt: ist deine Flächenberechnung von z. B. f-g negativ, weißt Du, dass der Graph von f unterhalb von dem Graphen von g verläuft (im Bereich der Flächenberechnung).

zu Deiner Ergänzung:

beim Integrieren von h hast Du hinten einen Vorzeichenfehler drin: es muss -3x heißen, nicht +3x. Letztendlich muss "natürlich" -32/3 rauskommen (minus schon alleine deswegen, weil die Fläche unter der x-Achse liegt!).

Die "Startäste" eines Baumdiagramms besitzen die Gesamtwahrscheinlichkeit des zugehörigen Ereignisses. D. h. der Startast 'F' hat die Wahrscheinlichkeit P(F) und 'F-Strich' entsprechend P(F-Strich), und das sind aus der Vierfeldertafel natürlich die jeweiligen Summenzellen.

Die daran folgenden Äste sind bedingte Wahrscheinlichkeiten - nämlich die Wahrscheinlichkeit des kommenden Ereignisses unter der Bedingung des zuvor eingetretenen Ereignisses. D. h. z. B. für den Ast von F nach E, dass dieser die bedingte Wahrscheinlichkeit P_F(E) hat, also die "Wahrscheinlichkeit von E, unter der Bedingung F". Die zugehörige "Formel" lautet: P_F(E)=P(F n E)/P(E). Und das ist aus der Vierfeldertafel die innere Zelle (E;F) geteilt durch die äußere Summenzelle von F.

Entsprechend werden die anderen "Zweitäste" berechnet.

Gesucht ist die Minute, von der die Anzahl der Bakterien zur nächsten Minute über 30 steigt, also: f(t+1)-f(t)>30.

D. h. Du müsstest 200*1,08^(t+1)-200*1,08^t>30 nach t auflösen.

Evtl. dürft ihr das vom Taschenrechner erledigen lassen. Ansonsten wirst Du logarithmieren müssen. Es sollte rauskommen: t>ln(1,875)/ln(1,08) [=8,16788].

D. h. von Minute 9 nach Minute 10 ist der Anstieg der Bakterien größer als 30, also in der 10. Minute, um auf die Fragestellung der Aufgabe zu antworten.

Die Mitte von DC ist nicht bei x=3,5, sondern bei x=6,5! Du hast vergessen zu der halben Länge von DC (=3,5) noch die x-Koordinate von C zu addieren (oder von xD abzuziehen): das Haus fängt nicht bei x=0 an, sondern bei x=3.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 (=2*2) teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 (bzw. 2mal durch 2) teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 8 (=2*2*2) teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 (bzw. 3mal durch 2) teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
6=2*3, d. h. eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist, also eine 0 oder 5 ist.

Dein Weg ist korrekt. Und wenn Du richtig rundest (480/990=0,484848...=0,48, nicht 0,49 !!), dann kommt auch die Antwortoption 52% raus...

Du hast in Deinem Anhang Aufgabe d) bearbeitet, nicht e)!

Der Anfang ist korrekt: sin(u)=1/W(2) gilt als "erstes" für u1=pi/4 (befindet sich im Einheitskreis im ersten Quadranten [also oben rechts]).

Bei der zweiten Lösung hast Du die falsche Periodenlänge angesetzt! Da Du dich gerade in der Substitution befindest (sin(u)), musst Du auch die Periodenlänge dieses Sinus' nehmen, und sin(1u) hat die Periodenlänge 2pi. Später beim Resubstituieren wird dann daraus die tatsächliche Periodenlänge des Ausgangssinus'.

D. h. u1=pi/4 und u2=pi - u1=pi - pi/4 = 3pi/4

alle weiteren Lösungen ergeben sich durch vielfache Addition der Periodenlänge (von sin(u)), also durch Addition von 2pi*n, also:

u1=pi/4 + 2npi ; u2=3pi/4 + 2npi

Nach Resubstitution, also in diesem Fall nach Teilen durch 5 (u=5x => x=u/5) ergeben sich die angegebenen Lösungen:

x=pi/20 + 2npi/5 und x=3pi/20 + 2npi/5

Bei e) wäre Dein "Startwert" u1=pi/6. Danach ist die Vorgehensweise dieselbe wie bei d)...

Klingt banal, aber Du musst auf jedes Wort achten und was das dann genau bedeutet...: oft wird der Fehler gemacht, dass man z. B. beim Wortlaut "weniger als x" als Gegenereignis "mehr als x" annimmt, was dann zur Folge hat, dass das "arme x" nicht berücksichtig wird.

Geht es um Zahlen, dann überlegst Du am besten, welche Zahlen für eine Beschreibung in Frage kommen, und was das dann für das "Gegenteil" bedeutet.

So bedeutet z. B. "maximal 10" (mathematisch <=10), dass alles bis einschließlich 10 dazu gehört, und somit alles größer als 10 (mathematisch >10) nicht mehr.

a) ist falsch für die Sonderfälle p=0 und p=1, denn:

bei p=0 gilt z. B. P(X=0)=1 und P(X=1)=0 => P(X<=0)=P(X<=1) und nicht P(X<=0)<P(X<=1)

bei p=1 gilt P(X=0)=0, P(X=1)=0 => ebenfalls P(X<=0)=P(X<=1)

Für alle anderen p's sind die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) "theoretisch" ungleich Null, und somit werden dann auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten mit größeren k's größer.

b) falsch, als Gegenbeispiel kannst Du da auch einfach den Teil a) nehmen...

c) falsch, wenn Du die Erfolgswahrscheinlichkeit p erhöhst, dann verringert sich die Wahrscheinlichkeit für die "kleinen" Trefferanzahlen k.
Beispiel: Basketballspieler 1 trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p=5 % in den Korb, Spieler 2 mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit. Es wird 10mal geworfen.
Dass Spieler 1 maximal 2-mal in den Korb trifft ist hierbei höher als bei Spieler 2, denn Spieler 2 wird höchstwahrscheinlich deutlich öfter treffen, d. h. für Spieler 2 ist maximal "nur" zweimal zu treffen recht unwahrscheinlich...

Nein, das ist falsch: ich denke Du hast das Thema noch nicht verstanden...

Vektor a (-5 3) ist noch korrekt eingezeichnet, wobei die Pfeilspitze auf den Punkt zeigen soll, an dem der Pfeil endet! (Vektoren müssen nicht unbedingt im Nullpunkt beginnen - außer der "Ortsvektor").

Oben der Vektor b (1 -3) ist auch noch korrekt gezeichnet (vom Startpunkt des Vektors eine Einheit nach rechts und 3 nach unten). Der "andere" Vektor b ist falsch.

Korrekt zeichnest Du Vektor a + Vektor b, indem Du zuerst den Vektor a zeichnest, also hier von einem frei gewählten Startpunkt 5 Einheiten nach links und 3 nach oben, und an der Spitze dieses Vektors beginnt der Vektor b, d. h. von der Spitze von Vektor a geht es nun eine Einheit nach rechts und 3 Einheiten nach unten. Der Vektor c geht dann vom Startpunkt des Vektors a zur Spitze von Vektor b. Wenn Du es richtig gezeichnet hast, dann geht Vektor c von seinem Startpunkt 4 Einheiten nach links und keine Einheit in y-Richtung.

Rechnerisch:

c=(-5 3) + (1 -3) = (-5+1 3+(-3)) = (-4 0)

Bei Aufgabe 7) musst Du überlegen, mit welchem Faktor Du die einzelnen Koordinaten multiplizieren musst, damit sich jeweils ganze Zahlen ergeben. Entweder machst Du es Dir einfach und multiplizierst einfach mit 10er-Potenzen (d. h. Du verschiebst nur das Komma) oder Du wählst den kleinstmöglichen Faktor. Hast Du einen passenden Faktor gefunden, musst Du, damit die Werte in der Form r * Vektor a die selben sind, den Vektor mit dem Kehrwert dieses Vektors multiplizieren.

Beispiel 7a): hier könntest Du entweder einfach mit 10 multiplizieren, d. h. das Komma der Koordinaten um eine Stelle nach rechts verschieben, und hättest so als Vektor a: (5 15 -15) und müsstest diesen dann mit dem Kehrwert von 10, also 1/10 multiplizieren. Oder Du multiplizerst in diesem Fall mit 2 (weil ,5 bedeutet ja "halbe") und kämst so auf 1/2 * (1 3 -3)

Aufgabe 9): hier fasst Du die Vektoren genauso zusammen wie Variablen (x, y, z) auch - denke Dir einfach die Pfeile weg...

Aufgabe 11): hier würde ich erst einmal die entsprechenden Koordianten der Vektoren notieren und diese dann wie angegeben "verrechnen".

Beispiel 11a): a=(2 2); b=(1 1), somit ergibt sich für die linke Seite a+2b: (2 2) + 2 * (1 1) = (2 2) + (2 2) = (4 4). Wenn das rechts mit d-2c auch rauskommt, passt die Gleichung.

Ich gehe mal davon aus, es soll jeweils 0,3 heißen, so dass für -5€ noch die Wahrscheinlichkeit 0,4 übrig bleibt. Ansonsten wäre die Aufgabe eh nicht lösbar (was Teil b) angeht)...

Wenn ihr das Thema neu angefangen habt, dann beginne mit einem Baumdiagramm, um Dir die Vorgehensweise klar zu machen (und Du den Baum siehst und ihn Dir nicht vorstellen musst). D. h. Du beginnst mit den 3 Ästen 0,5€, 2€ und -5€ und schreibst jeweils die Wahrscheinlichkeiten dran, dann folgen an jedem Ast im zweiten Schritt nochmal die gleichen Äste mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten (die Kugel werden ja zurückgelegt).

Somit bekommst Du z. B. für den Pfad (0,5€|0,5€) auf die Wahrscheinlichkeit p=0,3 * 0,3 = 0,09. D. h. mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 (=9 %) gewinnt der Spieler 1,- € (0,5+0,5).

Das machst Du mit allen Pfaden: Wahrscheinlichkeit ausrechnen und den zugehörigen Gewinn/Verlust.

Bei a) kommen dann alle Pfade in Frage, die einen Verlust ergeben (also alle Pfade bei denen mindestens ein Ast -5€ "heißt". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Äste werden addiert.

b) hier musst Du zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen, also den "Gewinn" jeden Pfades mal seiner Wahrscheinlichkeit und diese Ergebnisse addieren. Das Ergebnis ist die zu erwartende Auszahlung pro Spiel. Ein Minus bedeutet dabei, dass der Spieler Verlust macht, und somit der Spielanbieter Gewinn. Jetzt teilst Du 2.000,- durch diesen Gewinn des Spielanbieters und hast die Anzahl der nötigen Spiele um 2.000,- € einzunehmen (aus Sicht des Anbieters).

Zur Prüfung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt) bestimmst Du f(-x), d. h. Du ersetzt jedes x im Ausgangsterm durch (-x) und vereinfachst den Term. In diesem Fall kommt derselbe Term raus wie bei der Ausgangsfunktion (nur sind die Summanden vertauscht, was ja bekanntlich am Ergebnis nichts ändert).

Somit gilt f(-x)=f(x), und das bedeutet, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

An der Stelle, wo Du von 0x die 0,5x abziehst, hast Du einen Vorzeichenfehler: es muss -0,5x heißen. Dann kommt bei der letzten Division am Ende -0,5 raus, und das ergibt mit (x-2) multipliziert -0,5x+1 und somit kommst Du am Ende auch auf Rest 0.

Fakt ist: ist x0 eine Nullstelle eines Terms, dann ergibt die Division dieses Terms durch (x-x0) IMMER Rest 0, ansonsten ist (wie hier bei dir) etwas schief gelaufen!

3a) Stelle aus der gegebenen Gleichung mit den gegebenen Vektoren ein Gleichungssystem auf und löse dieses.

b) Gibt es eine Linearkombination der 3 Vektoren, die den Nullvektor (0 0 0) ergibt, dann sind die 3 Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig. Also wieder Gleichungssystem aufstellen wie bei a), nur eben nicht "gleich Vektor a", sondern "=(0 0 0)".

4) gleiche Vorgehensweise wie bei 3)

Berechne zuerst die Fläche des sin von 0 bis π.

3:4 bedeutet, dass der Schnitt bei 3/7 dieser Fläche sein muss, d. h. das Integral von 0 bis zur gesuchten Grenze muss 3/7 der sin-Fläche von 0 bis π betragen.

Vervielfacht man die eine Größe und vervielfacht sich die andere dabei um denselben Faktor, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Wird die eine Größe mit einem Faktor vervielfacht und die andere muss dabei durch diesen Faktor geteilt werden, damit die Zuordnung stimmt, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

5.1 eine gewisses Gewicht Tomaten entspricht einem bestimmten Betrag. Verdoppelt/verdreifacht/... man das Gewicht der Tomaten, dann werden sich auch die entsprechenden Kosten verdoppelt/verdreifachen/..., d. h. hier liegt eine proportionale Zuordnung vor

5.2 Erhöht sich die Laufstrecke wird sich auch die Laufzeit erhöhen, allerdings nicht um denselben Faktor: ein 10.000 m-Läufer wird nicht nur 100mal länger brauchen als ein 100 m-Läufer, sondern noch etwas mehr Zeit, daher handelt es sich hier weder um eine proportionale noch um eine antiproportionale Zuordnung.

5.4 hast Du nur ein Glas, kommt da der komplette Liter rein (muss wohl ein großes Glas sein...). Bei 2 Gläsern (also *2), halbiert sich die Menge pro Glas (jeweils 0,5 l, also durch 2); somit liegt hier eine antiproportionale Zuordnung vor

Die anderen solltest Du nun auch selbst lösen können.

Hier hast Du es mit einer Normalverteilung zu tun, d. h. hier gibt es keine ganzzahligen n und k und auch kein p, wie Du es aus der Binomialverteilung kennst.

Gegeben ist der Erwartungswert μ=7 und die Standardabweichung σ=0,5.

Gesucht ist bei a) nach P(X<6,8). Um daran zu kommen musst Du aus der Standardnormalverteilung Φ(Z) berechnen/ablesen, mit Z=(X-μ)/σ=(6,8-7)/0,5=-2/5=-0,4, d. h. gesucht ist Φ(-0,4)=1-Φ(0,4)=1-0,6554=0,3446. Φ(0,4) habe ich aus einer Tabelle für Standardnormalverteilung abgelesen.

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.