Lösen einer trigonometrischen Gleichung
Hallo liebe Community-Mitglieder
Bei folgender Aufgabe fehlt mir der letzte Schritt zur Lösung:
sin(2x)=1 ; x€[0;2Pi]
Als Erstes setze ich z=2x und erhalte dadurch sin(z)=1 daraus ergibt sich das der sinus bei z=pi/2 den Wert 1 annimmt. Durch die Periodenlänge 2pi gilt das auch für alle Werte und ergibt dann:
z=pi/2+2kpi mit z=2x komme ich dann auf:
2x=pi/2+2kpi geteilt durch zwei=
x=pi/4+kpi
ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Muss ich dann irgendwie die Werte der Intervalleingrenzung einsetzen? Wenn ja wo müssen die Werte eingesetzt werden damit ich auf die Lösung komme? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
2 Antworten
ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Muss ich dann irgendwie die Werte der Intervalleingrenzung einsetzen?
Du musst halt schauen, für welche k der Wert π/4+kπ im Intervall liegt.
Das Intervall war [0;2π]. Damit kommen schonmal keine negativen Werte in Frage, dh bei deinem x=π/4+kπ kommen für k nur nichtnegative ganze Zahlen in Frage (denn schon für k=-1 hätten wir ja ein negatives x).
Für k=0 bekommen wir π/4, für k=1 bekommen wir π/4+π = 5/4π, das passt beides. Für k=2 sind wir aber schon außerhalb des Intervalls. Fertig.
Ja, man kann das auch formal machen. Dazu würde man so umformen: π/4+kπ = π/4+4kπ/4 = 5k/4π. Da dieser Wert innerhalb von [0;2π] liegen muss, sind diejenigen Werte von k gesucht, für die 0≤5k/4≤2 gilt. Aber ich finde, dieser Teil der Aufgabe ist so einfach, dass man das nicht formal machen muss.
Was willst du mit den anderen Perioden 2kPi, es ist doch nur innerhalb der 1. Periode die x-Werte gefragt und das hast du richtig errechnet mit Pi/4 und mit sin(2x) bist du bei Pi/2 (90°), wo die Sinuskurve +1 ist und bei jeder nächsten Periode auch wieder bei x=Pi/4!
Alles richtig!
X2=5/4pi ist auch falsch! Der Sinus ist ja immer bei 2pi + pi/4 = 1, also die nächste Lösung ist 9/4 *pi!
X2=5/4pi ist auch falsch!
Diese Lösung ist richtig.
Der Sinus ist ja immer bei 2pi + pi/4 = 1
Nein. sin(π/4) = 1/wurzel(2). Richtig ist: sin(π/2)=1. Und wegen der Periodizität eben auch sin(π/2+2kπ)=1 für alle ganzzahligen k.
also die nächste Lösung ist 9/4 *pi!
Erstens: Es ist 9/4π>2π, das liegt ja nicht mal im vorgegebenen Intervall [0;2π]
Zweitens: 5/4π ist richtig.
- 5/4π liegt im Intervall [0;2π] .
- Probe mit x=5/4π:
sin(2(5/4π)) = sin(5/2π) = sin(π/2 + 2π) = sin(π/2) = 1
Der Wert liegt im angegebenen Intervall, und sin(2x) ist für diese Wert gleich 1. ---> Lösung korrekt.
in der Aufgabe werden aber folgende Lösungen angegeben:
x1=1/4pi x2=5/4pi
auf diese Werte komme ich nicht.