Ist das wahr oder falsch (Analysis 2)(Uni Mathe)(Extrema)?
Das ist ja basically eine Ebene Fläche bei z=2.
Laut der Musterlösung ist diese Aussage allerdings falsch.
Ich verstehe nicht wieso eine ebene Fläche lokale Extrema haben kann.
Hat sie womöglich sogar globale? Kann mich jemand aufklären
4 Antworten
Nach Definition hat die Funktion f: ℝ² → ℝ an einer Stelle (x₀, y₀) ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U um (x₀, y₀) gibt, so dass für alle (x, y) in U dann f(x, y) ≥ f(x₀, y₀) ist.
D.h.: Es handelt sich um ein lokales Minimum, wenn in einer Umgebung alle Funktionswerte größer oder gleich diesem Funktionswert sind.
Und das ist bei einer solchen konstanten Funktion (wie in der Aufgabe) der Fall. Eine konstante Funktion hat an jeder Stelle des Definitionsbereichs ein lokales Minimum (bzw. sogar ein globales Minimum). Denn an jeder anderen Stelle sind die Funktionswerte größer oder gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.
[Analog mit Maximum statt Minimum.]
Das ist letztendlich ein Streit um des Kaisers Bart und eine Frage von Definitionen.
Lokales Maximum in x: für alle Punkte u in einer Umgebung U_x von x gilt: f(x) >= f(u) - ist bei dieser Funktion für alle x in der Ebene erfüllt; daher ist jeder Punkt ein lokales Maximum. Ebenso ist jeder Punkt ein lokales Minimum.
Ja. Hier ist an jeder Stelle zugleich ein lokales Minimum, ein lokales Maximum, ein globales Minimum und ein globales Maximum.
[Aber es befindet sich nirgends ein striktes Minimum bzw. ein striktes Maximum. Aber danach war ja nicht gefragt.]
Das ist genau der Punkt - „isoliert“ oder „strikt“ wäre in diesem Fall das Zauberwort gewesen…😀
Bei einem „strikten“ lokalen Minimum wäre in einer Umgebung um die Minimumstelle an jeder anderen Stelle (außer an der Minimumstelle selbst) der Funktionswert echt größer (nicht nur größer oder gleich) als an der Minimumstelle.
Beispielsweise wäre bei f(x, y) = x² + y² + 5 an der Stelle (x₀, y₀) = (0, 0) ein striktes Minimum. Denn es ist nicht nur ein Minimum, sondern an jeder anderen Stelle [außer an der Stelle (0, 0)] ist der Funktionswert f(x, y) echt größer als der Minimumswert f(0, 0) = 5.
Das ist eine Aufgabe, bei der Definitionen abgefragt werden. Schaue dir mal die für LOKALE Extrema an. Da wirst du fündig.
Ob die Funktion globale Extrema hat (hat sie) ist nicht Bestandteil der Fragestellung.
Ich weiß, dass Letzteres nicht Bestandteil der Fragestellung war es hat mich einfach persönlich interessiert lol
Das ist truthfully keine ebene Fläche, sondern als Abbildung vom R2 auf R eine Konstantenfunktion.
Die hat nach Definition unendlich viele lokale Minima und Maxima.
Naja wenn jeder Stelle (x,y) der Funktionswert z=2 zugeordnet wird, dann ist das sehr wohl eine Fläche die parallel zur x-y-Ebene verläuft und sich auf der Höhe z=2 befindet
Der Wert, den Du hier z nennst, ist der zu untersuchende Funktionswert. Der liegt im R1 und ist konstant bei 2. Man kann das als "anschaulich" als 3D-Plot darstellen, dann bekommt man eine Fläche. Aber das ist anschaulich argumentiert.
Letztlich hast Du eine R1-Gerade als Ergebnis, die konstant auf 2 verläuft. Damit hat sie unendlich viele lokale Minima/ Maxima.
Sind das dann auch globale Maxima? Gibt ja an sich keine Punkte die kleiner oder größer sind