Ist f(x)=3 periodisch?
Laut unserer Definition aus dem Matheunterricht (und auch von einigen Websiten) schon, aber ist das eine ungenaue Definition oder gilt zb f(x)=3 tatsächlich als periodisch (beziehungsweise jede Funktion parallel zur x-Achse) Das wirkt auf mich nämlich irgendwie komisch, denn es ist ja keine typische periodische Funktion
Und falls es eine ist, ist p dann nicht definiert? Müsste ja die Zahl "nach" null sein, aber die gibt es ja praktisch nicht.
5 Antworten
Ja, konstante Funktionen, wie beispielsweise auch die Funktion...
... sind periodisch. Jede Zahl T ∈ ℝ ist eine Periode dieser Funktion.
Und falls es eine ist, ist p dann nicht definiert? Müsste ja die Zahl "nach" null sein, aber die gibt es ja praktisch nicht.
Was genau meinst du hier mit „p“? Vermutlich meinst du die kleinste positive Periode, für die man sich ja oftmals bei periodischen Funktionen interessiert.
Ja, es gibt bei dieser Funktion tatsächlich keine kleinste positive Periode. Da hast du recht. Das „p“ ist dann undefiniert.
======Übliche Definition======
Sei
eine Funktion mit einem Definitionsbereich, der eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.
Genau dann, wenn
und
gilt, ist T eine Periode der Funktion f und man nennt f „T-periodisch“.
Genau dann, wenn es mindestens eine Periode T mit T ≠ 0 gibt, nennt man die Funktion f „periodisch“.
[Hinweis: Es gibt auch Definitionen, bei denen von vornherein T = 0 als Periode ausgeschlossen wird, damit man nicht bei jeder Funktion verwirrenderweise sagen könnte, dass sie „0-periodisch“ sei. Denn bei der von mir genannten Definition ist jede Funktion 0-periodisch, und Personen könnten denken, dass „0-periodische“ Funktionen auch immer „periodisch“ sind, da ja „periodisch“ in „0-periodisch“ steckt, was aber nicht der Fall ist. Denn man sollte auch bedenken, dass auch in der genannten Definition „0-periodisch“ allein nicht ausreicht, dass eine Funktion „periodisch“ ist, da bei „periodischen Funktionen“ mindestens eine Periode T ≠ 0 gefordert wird.]
============
Im konkreten Fall ist bei
jede Zahl T ∈ ℝ eine Periode der Funktion f.
Es gibt insbesondere auch Perioden T ≠ 0 von f. Man kann hier jede Periode T ∈ ℝ∖{0} betrachten, beispielsweise T = 1. Dementsprechend ist f hier tatsächlich eine periodische Funktion.
====== Ergänzung: Bild zu einem meiner Kommentare ======
Deine Definition ist zu eng im der Regel möchte man meine haben.in der Physik / odes möchte man periodizität auf beschränkten Domains.
Drittens was ist der Punkt deiner Definition? Warum ist sie besser. Deine geht nur mit D= R oder Z modulo uninteressant
/in = elementin relation in LATX code
Hier geht es um Mathematik. Da ist es erst einmal nicht ganz so wichtig, was man in der Physik haben möchte. Ich habe eine mathematisch saubere Definition geliefert, wie sie auch in der Mathematik (und in der Physik) üblich ist.
Es ist nun einmal wichtig, dass x + T auch im Definitionsbereich ist. (Und nicht nur, dass „wenn x + T im Definitionsbereich, dann ...“.) Wenn ein Physiker das dann mal auf einem beschränkten Bereich braucht, so kann dieser die Definition abwandeln, sodass klar ist, was dieser unter einer periodischen Funktion versteht.
Drittens was ist der Punkt deiner Definition? Warum ist sie besser.
Ich habe am Ende meiner Antwort ein Bild ergänzt, in dem ich einen Funktionsgraphen skizziert habe. (Zwischen den Sägezähnen, also beispielsweise in den Intervallen ]1; 2[ und ]4; 5[ ist die Funktion nicht definiert.)
Ist diese Funktion periodisch? Ich würde sagen nein. Wenn ich deinen Änderungsvorschlag richtig verstanden habe, wäre das aber deiner Ansicht nach eine periodische Funktion mit Periode 1, oder?
Der Punkt meiner Definition, ist es, eine mathematisch saubere Definition zu liefern, die mit anderen üblichen Definitionen (von anderen Mathematikern) übereinstimmt.
Deine geht nur mit D= R oder Z modulo uninteressant
Nein. Meine Definition gilt für alle reellwertigen Mengen, die sich „periodisch wiederholen“. Damit ist gemeint... Es gilt für alle reellen Mengen D ⊆ ℝ, für die es ein T ∈ ℝ gibt, so dass zu jedem x ∈ D immer auch x + T ∈ D ist. Das sind weitaus mehr Mengen, als du erwähnt hast.
Mal davon abgesehen, würde ich behaupten, dass allein die Fälle D = ℝ bzw. auch D = [0; ∞[ wohl die interessantesten Fälle sind (auch was Physik betrifft). Und diese sind von meiner Definition abgedeckt.
Was man evtl. noch machen könnte, wäre das auf höhere Dimensionen oder auf komplexe Zahlen zu erweitern, um gleichzeitig beispielsweise sowas wie doppelt-periodische Funktionen (https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Funktion) mit abzudecken. Das würde hier aber zu weit gehen, und je nach Anwendungsgebiet evtl. auch vielleicht unterschiedliche (voneinander abweichende) Definitionen benötigen, weshalb ich bei reellen Definitionsbereichen geblieben bin.
/in = elementin relation in LATX code
Ahh. Du meinst also „\in“ (statt „/in“ oder „/ in“), was in LaTeX (nicht „LATX“) das Symbol „∈“ liefert.
Darum schreib ich auch odes die sind auch rein Mathematik. Also das physikerargument war eine Höhle Nuss..
Aber mit so einer Witzfigur wie du ist an einer ernsthaften Diskussion eh nicht interessiert wie du dich beim / in symbol zur schau stellst muss ja nicht sein.
Zudem gibst du ja zu das deine Definition nicht mal konsistent ist .
War wohl nichts.
Sie ist nicht periodisch, weil die Länge der Periode nicht eindeutig bestimmt werden kann.
Das ist falsch. Konstante Funktionen gelten als periodisch mit beliebig langer Periode.
Ja, per definition sind konstante Funktionen periodisch mit beliebiger periode. Voraussetzung ist nicht, dass eine eindeutige periode definiert werden kann, sondern ob es (irgend)eine periode gibt, nach der sich die Funktion wiederholt. Das ist bei konstanten Funktionen gegeben. Egal wie man die periode wählt.
Eine Bedingung für periodische Funktionen ist, dass p <> 0 sein muss. Bei konstanten Funktionen gilt: sie sind periodisch mit einer beliebigen (!) Periode <> 0.
danke für deine antwort. aber warum das <>0? also wir haben im unterricht gelernt , dass p so definiert ist, dass es positiv ist. war das falsch? danke nochmal für die antwort ^^
Nein, falsch ist das nicht. Die allgemeine Definition spricht von "ungleich" - allerdings macht p > 0 deutlich mehr Sinn, wenn man mal darüber nachdenkt, was das eigentlich bedeutet.
oha dann hatten wir es im unterricht falsch definiert
Ich ziehe die Antwort zurück. Manchmal überrascht einen dann doch das Formale einer Definition (siehe Antwort von mihisu).
um genau zu sein, ist p sogar >0 definiert. ja , sonst wäre jede Funktion periodisch mit p=0
Andersrum: Die Eigenschaft "periodisch" definiert sich dadurch, dass p > (oder <>) 0. Wenn p = 0 ist die Eigenschaft schlichtweg nicht erfüllt.
Ja, >0 ist schon richtig. Aber um das Vorzeichen ging es in meiner Antwort eigentlich nicht.
Ich glaube das ist die falsche Definition
Es gilt x+T / in D --> f(x+T) =f(x)