𝑥^𝑥=7^(𝑥+49) Wie lösen?

Kann jemand diese Gleichung lösen? Bitte Schritt für Schritt

Answer 1

[mihisu]

$x=49$

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Hmm, da gibt es keinen richtig schönen allgemeinen Lösungsweg dafür, würde ich sagen.

Ich hätte zunächst einmal x = 7^t substituiert...

$x^x=7^{x+49}$

$\xleftrightarrow{x=7^t}\quad \left(7^t\right)^{7^t}=7^{7^t+49}$

$\leftrightarrow\quad 7^{t\cdot 7^t}=7^{7^t+49}$

$\leftrightarrow\quad t\cdot 7^t=7^t+49$

$\leftrightarrow\quad t\cdot 7^t-7^t=49$

$\leftrightarrow\quad \left(t-1\right)\cdot 7^t=49$

$\leftrightarrow\quad \left(t-1\right)\cdot 7^t=7^2$

$\leftrightarrow\quad t-1=7^{2-t}$

Nun würde ich schauen, ob es zufälligerweise eine Lösung mit ganzer Zahl t gibt. Zahlen mit t ≤ 1 ergeben keine Lösung, da dann die linke Seite nicht-positiv ist, die rechte Seite dann aber positiv ist. Wenn man dann als nächstes t = 2 probiert, sieht man, dass das eine Lösung ist. Dementsprechend erhält man dann rücksubstituiert...

$x=7^2=49$

... als Lösung.

Dann kann man die Gleichung noch weiter untersuchen, und zeigen, dass es keine weitere reelle Lösung gibt. [Siehe: Ergänzung unten]

Ergebnis: x = 49 ist die einzige reelle Lösung der Gleichung.

====== Ergänzung ======

(Reelle) Lösungen der Gleichung

$t-1=7^{2-t}$

müssen Nullstellen der durch

$f(t)=t-1-7^{2-t}$

gegebenen reellen Funktion f sein.

$f(t)=t-1-\text{e}^{\ln(7)\cdot \left(2-t\right)}=t-1-\text{e}^{\ln(7)\cdot 2-\ln(7)\cdot t}$

$f'(t)=1-\text{e}^{\ln(7)\cdot 2-\ln(7)\cdot t}\cdot \left(-\ln(7)\right)$

$f'(t)=1-7^{2-t}\cdot \left(-\ln(7)\right)$

$f'(t)=1+\underbrace{\overbrace{\ln(7)}^{>0}\cdot \overbrace{7^{2-t}}^{>0}}_{>0}>1+0=1>0$

Da die Ableitung größer 0 ist, ist f streng monoton steigend. Dementsprechend ist f injektiv und hat daher höchstens eine Nullstelle. Diese Nullstelle haben wir mit t = 2 bereits gefunden. Damit ist dann gezeigt, dass es keine weitere reelle Lösung neben der bereits gefundenen Lösung gibt.

Answer 2

[ShimaG]

Ich denke nicht, dass die Gleichung eine geschlossene Lösung hat. Wo kommt die her?

Answer 3

[Uwe65527]

Ich denke, da kommt x=49 raus.

49^49 = (7^2)^49 =7^(2*49)=7^(49+49)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.