Woher weiß ich, ob dieses Integral konvergiert?

Kann man das voraussagen, ohne dieses Integral berechnen zu müssen? Durch das x^2 ist die Anwendung von partieller Integration bzw. Substitution recht aufwändig.
Gibt es da einen Trick?

Answer 1

[mihisu]

Du kannst mit Hilfe von 1/x² abschätzen und das Majorantenkriterium nutzen.

$\int\limits_{1}^{+\infty}\left\lvert\frac{\sin(x)}{x^2}\right\rvert\,\text{d}x=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\left\lvert\sin(x)\right\rvert}{x^2}\,\text{d}x\leq \int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\text{d}x=1<\infty$

Dementsprechend konvergiert das uneigentliche Integral

$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x^2}\,\text{d}x$

absolut.

Comments

[Sheeeeesh2]

Danke, dass macht Sinn. Eine kleine Frage hätte ich noch. Wieso wird geguckt ob es absolut konvergiert mit den Betragsstrichen? Würde es auch ausreichen ohne den Betrag zu machen?

[mihisu]

@Sheeeeesh2

Naja, ohne Betrag funktioniert das Majorantenkriterium nicht. [Grob gesagt könnte das Integral sonst quasi auch nach unten abhauen, statt zu konvergieren.]