Woher weiß ich, ob dieses Integral konvergiert?

1 Antwort

Du kannst mit Hilfe von 1/x² abschätzen und das Majorantenkriterium nutzen.

1+sin(x)x2dx=1+sin(x)x2dx1+1x2dx=1<\int\limits_{1}^{+\infty}\left\lvert\frac{\sin(x)}{x^2}\right\rvert\,\text{d}x=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\left\lvert\sin(x)\right\rvert}{x^2}\,\text{d}x\leq \int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\text{d}x=1<\infty

Dementsprechend konvergiert das uneigentliche Integral

1+sin(x)x2dx\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x^2}\,\text{d}x

absolut.