Kann jemand Stammfunktion ermitteln durch geeignete Substitution? Bitte mit Erklärung, würde es gerne verstehen?
woher weiß ich was cos(7x) * cos (7x) ist?
Müsste das dann so aussehen?
Woher weiß ich was ich jetzt als Nächstes machen muss?
aktueller Stand
Ist das so richtig?
Das wäre meine finale Lösung. Auf der linken Seite unten hätte ich noch eine Frage. Undzwar ist du / u das gleiche wie 1/u? Ist die Rechnung genau so richtig wie rechts?
2 Antworten
Hallo,
nach Erweiterung mit cos (7x) und Stellung der 2 vor das Integral bekommst Du
2*Int (cos (7x)/(cos²(7x)*sin (7x)).
Den Term hinter dem Integral kannst Du umgruppieren zu (1/cos²(7x)*cos(7x)/sin(7x)), was wiederum (1/cos²(7x))*(1/tan(7x)) ergibt.
Nun substituierst Du u=tan(7x) und mußt den Substitutionsausgleich bestimmen:
du/dx=7/cos²(7x), daher ist dx=cos²(7x)/7. Die 7 ziehst Du ebenfalls vor das Integral und cos²(7x) kürzt Du. So bekommst Du (2/7)*Int (1/u)=(2/7)*ln |u|.
Rücksubstitution führt zu (2/7)*ln |tan(7x)|+C.
Bei der Substitution ist darauf zu achten, daß die alte Variable (hier also x) vollständig verschwindet. Deswegen ist die Substitution mit dem Tangens anzuraten, da sich der Substitutionsausgleich und das cos²(7x) im Nenner aufheben.
Herzliche Grüße,
Willy
woher weiß ich was cos(7x) * cos (7x) ist?
Hab was in der Frage ergänzt. Ist das so erstmal richtig und wieso eig cos^2(7x) und nicht (cos(7x))^2?
Schreibt man halt so. Nichtoptionale Mathematiker-Konvention.
Hab gerade gesehen hatte irgendwie auch im Zähler cos^2(7x).
okay also das habe ich verstanden.
Und was mache ich jetzt? Ich hab jetzt den vereinfachten Bruch und wie erkenne ich jetzt das ist eig meine Frage was ich als Substitution nehme? Wie erkenne ich das.
Das wird so geschrieben um die nervige Klammer um den cos herum zu sparen. Wenn längere Formelstrecken kommen ist das viel übersichtlicher als mit Klammer. Das wurde aber eigentlich tatsächlich schon in der Schule behandelt und auch im Papula sollte das so eingeführt sein.
Da waren in der Aufgabe doch super Hinweise gegeben. Die hättest Du einfach beherzigen sollen. Genau das habe ich getan.
Hab in der Schule nie was für Mathe machen müssen. War alles immer so schön einfach. Ist erst jetzt bisschen schwieriger. Mir fehlen einfach manchmal so nen paar Basics 🥲. Deswegen nicht wundern wenn manchmal dumme Fragen kommen.
Ich hab mal meinen aktuellen Stand hochgeladen. Ich weiß du hast schon erklärt was ich als Nächstes machen muss. Aber ich verstehe den Schritt einfach nicht. Was passiert da?
Bis dahin richtig.
Da cos(7x)/sin(7x) das Gleiche ist wie 1/tan(7x), hast Du nun unter dem Integral
1/[tan(7x)*cos²(7x)] stehen.
Ersetzt Du nun tan(7x) durch u, mußt Du die bisherige Funktion nach x als Substitutionsausgleich durch die Ableitung von tan(7x) teilen. Da tan(x) im Nenner steht und der Substitutionsausgleich 7/(cos²( 7x) lautet, bedeutet das, daß letztlich mit cos²(7x)/7 multipliziert wird, wodurch sich cor²(7x) vollständig wegkürzt. Die 7 im Nenner wird vor das Integral gezogen wie schon vorher die 2, so daß da nun (2/7)*Int(1/u)*du steht. Stammfunktion zu 1/u ist ln|u|, so daß nun nur noch das u durch den tan(7x) ersetzt werden muß und am Ende
(2/7)*ln |tan(7x)|+C als Stammfunktion bleibt. Noch einmal: Substitution bringt nur etwas, wenn am Ende die alte Variable vollständig durch die neue ersetzt werden konnte. Da Du es mit zwei Funktionen zu tun hattest, nämlich mit cos(7x) und sin(7x) und es nichts bringt, eine davon durch u zu ersetzen, weil man dadurch die andere nicht los wird, mußte ein Trick gefunden werden, eine gegen den Substitutionsausgleich zu kürzen. Würdest Du einfach sin(7x)=u setzen, bekämst Du 7*cos(7x) als Substitutionsausgleich, würdest aber durch diesen teilen, so daß danach im Nenner 7u*cos²(7x) stünde.
Da tan(7x) aber eine Ableitung hat, bei der cos²(x) im Nenner steht, so daß dieser Term bei der Division in den Zähler wandert, bietet sich da eine Chance zum Kürzen, falls man aus dem ursprünglichen cos(7x) ein cos²(7x) macht, was durch eine einfache Erweiterung erreicht werden kann. Der überzählige Ausdruck cos(7x), der durch die Erweiterung im Zähler erschienen ist, verschwindet durch das Ersetzen von cos(7x)/sin(7x) durch 1/tan(7x).
Auf so etwas kommt man nur durch Erfahrung und mathematisches Verständnis. Es gibt hier keine allgemeingültigen Vorgehensweisen wie beim Ableiten. Durch die Tipps in der Aufgabenstellung wurde diese Schwierigkeit aber beseitigt.
Hi Willy,
habe mich jetzt ausführlich damit befasst und bin zu folgenden Ergebnis gekommen (siehe Ergänzung). Ist das so korrekt?
Ich habe nochmal meine Frage ergänzt und meine Lösung berichtigt. Habe da noch eine kleine Frage mit hinzugefügt. Ist du/u das gleiche wie 1/u?
Nein. du hast nicht verstanden, was du/ dy/ dx usw. überhaupt ist.
Wenn Du die Fläche unter einer Kurve berechnen willst, für die es keine einfache geometrische Formel gibt, teilst Du die Fläche in lauter Rechtecke auf, die alle die gleiche Breite haben und deren Höhe dem jeweiligen Funktionswert der Kurve entspricht. Die Summe der Flächeninhalte nähert sich der Fläche unter der Kurve an, und zwar umso genauer, desto schmaler die Rechtecke sind und dementsprechend so viele es davon gibt.
Werden die Rechtecke unendlich schmal, füllen sie die ganze Fläche unter der Kurve ohne Zwischenräume auf und summieren sich so insgesamt zu der Gesamtfläche des Intervalls unter der Kurve, das Du betrachtest.
Solange die Rechtecke noch eine meßbare Breite haben, entspricht diese Breite dem Abstand zweier benachbarter x-Werte der Stützstellen. Nimm an, Du willst die Fläche unter der Funktion f(x)=x² im Intervall von 0 bis 4 ermitteln und richtest dafür fünf Stützstellen bei x=0; 1; 2; 3 und 4 ein. Der Abstand Delta x zwischen zwei benachbarten Stützstellen wäre hier 1. Die Höhe dieser Pfeiler entspricht ihrem Funktionswert und lauteten der Reihe nach 0; 1; 4; 9 und 16.
Nimmst Du die Höhe des jeweils rechten Pfeilers eines dieser Rechtecke, bekommst Du so von links nach rechts Rechtecke mit der Fläche
1*1+1*4+1*9+1*16=1*(1+4+9+16)=30 Flächeneinheiten, also Delta x mal die Summe der Funktionswerte an den Stützstellen.
Dieser Wert von 30 FE wäre natürlich noch viel zu hoch, weil die Rechtecke jeweils über die Parabel hinausragen.
Du könntest nun auch die Höhen der linken Pfeiler zugrundelegen, die Rechtecke ergeben, deren Summe kleiner ist als die der tatsächlichen Fläche unter der Kurve. Das wäre dann 1*(0+1+4+9)=14 FE. 30+14=44. Das arithmetische Mittel beider angenäherter Flächen, der zu großen und der zu kleinen, wäre 22 FE, was der Wahrheit schon sehr nah kommt.
Du kannst natürlich auch diesen Bereich von x=0 bis x=4 in 40 Rechtecke aufteilen, so daß jedes Rechteck nur noch die Breite 1/10 statt 1 hätte. So kämst Du viel näher an den echten Wert heran, weil nun alles feiner ist.
Nun wäre Delta x gleich 1/10.
Teilst Du es in unendlich viele Rechtecke ein, geht Delta x gegen 0 und wird nun dx genannt. Die einzelnen Funktionswerte werden nun über das Integral summiert, das mit fließenden Übergängen zwischen den Summanden umgehen kann. Da die Breite eines jeden dieser unendlich vielen Rechtecke nun dx lautet, der Unterschied zwischen zwei benachbarten Stützstellen also gegen 0 geht, bekommst Du als Fläche das Integral x²*dx in den Grenzen von 0 bis 4.
Die Stammfunktion (1/3)x³ ergibt sich aus dieser Grenzwertberechnung.
Ist die Variable nicht x, sondern u, ist die Breite der unendlich vielen Rechtecke nicht dx, sondern du und nach der Substitution irgendeiner Funktion, die von x abhängig ist, durch u, bildest Du das Integral u*du in der Hoffnung, daß dies einfacher zu berechnen ist als das ursprüngliche, denn das ist der Sinn einer Substitution, sonst kann man sie bleiben lassen.
Wenn Du u nicht mit du multiplizierst, sondern durch du teilst, bekommst Du nichts Vernünftiges heraus. Durch du teilen kannst Du dy, so bekommst Du ein Steigungsdreieck, dessen Katheten gegen 0 gehen und dessen Hypotenuse nicht mehr Sekante zwischen zwei Funktionswerten einer Funktion ist, sondern Tangente, weil die beiden Schnittpunkte praktisch miteinander verschmolzen sind. Das ergibt die Ableitung an der untersuchten Stelle.
Berechnest Du den Substitutionsausgleich, leitest Du die Funktion von x, die durch u ersetzt wird, nach x ab, bildest also du/dx. Das ist die Umkehrung der Kettenregel der Ableitung, bei der die äußere Ableitung mit der inneren multipliziert wird. Da die Stammfunktion einer Funktion diese Funktion ergibt, wenn sie abgeleitet wird, muß der Substitutionsausgleich diese Multiplikation mit der inneren Ableitung wieder rückgängig machen; es wird durch die innere Ableitung geteilt. Deswegen du/dx. Du mußt dieses Berechnen einer Ableitung und eines Integrals über die Grenzwertbildung unbedingt mal durchexerzieren, sonst bekommst Du nie ein Verständnis für das Wesen der Infinitesimalrechnung. Auch hier sollte der Papula weiterhelfen.
Was ist denn jetzt aber bei meiner Berechnung nicht richtig. Welcher Teil ist denn nicht richtig? Für dx habe ich wie du es ja siehst du/7/(cos^2(x)) eingesetzt. So und dann habe ich die Brüche multipliziert.
Ist das so richtig? Das wäre meine Frage oder ist das falsch?
Am Ende steht dann halt da 2/7 * int (du/u).
Und da ist jetzt meine Frage was ist da mit du?
Kannst du mir das erklären. Wie sich du/u da verhält. Oder ob das überhaupt richtig ist
Jetzt sehe ich, was Du meinst. Du hattest 1/tan(7x) unter dem Integral, nachdem der Kosinus weggekürzt war. Da tan (7x) durch u ersetzt wurde, steht da nun 1/u und das natürlich mal du, weil 1/u nun die neue Funktion ist, die integriert werden soll. Nun werden die Funktionswerte von 1/u durch das Integral aufsummiert und mit der unendlich dünnen Breite du multipliziert, um so die Fläche unter der Kurve zu ergeben. Da die Stammfunktion von 1/u bekannt ist, nämlich ln |u|, stellt dies nun kein Problem mehr da. Du hast alles richtig gemacht und das Ergebnis stimmt.
Danke. Das war meine Frage. Danke immer für die hilfreichen Antworten. Echt mega
Wieso machst du nicht das was im Hinweis steht und erweiterst den Bruch mit cos(7x)? Dann substituiere t = tan(7x) und dx = 7cos²(7x)dt.
Darf ich fragen was genau du studierst? Wenn du an anderer Stelle mit Tensoren hantierst mußt du ja schon ein wenig fortgeschritten sein.
Also gut, ich versuche es mal.
und damit
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet. HIer
https://www.integralrechner.de/
kannst du dir das auch vorrechnen lassen, aber der Rechner setzt unterwegs den nicht gerade landläufigen sec ein.
Achtung, in der zweiten Zeile fehlt bei mir noch ein du am Ende, aber ich bin jetzt zu faul das ganze noch mal in den Latex-Editor einzuhauen.
Ich hab kein Plan wie Substitution funktioniert deswegen frage ich.
Bin 2. Sem Bauingenieurswesen. Ergebnisse aus dem ersten Sem waren alle top. Ich Versuch einfach nur so früh wie möglich alles zu verstehen.
Deswegen frage ich ja nach einer Rechnung mit Erklärung.
Kannst du zufällig die Aufgabe mal rechnen und mir zeigen. Wär einfach Mega. Werde aus den yt Videos online nicht schlau
Ich habe dir doch schon genau geschrieben was du tun mußt. Wenn du das nicht verstehst, wie wäre es mit einem passenden Buch über höhere Mathematik? Goldstandard für Ingenieure ist der Papula
https://www.amazon.de/Mathematik-f%C3%BCr-Ingenieure-Naturwissenschaftler-Band/dp/3658217456
Youtube Videos sind für die Schule, nicht für die Uni, egal was andere sagen. Lesen, lesen und nochmal lesen ist das was zählt.
Ich hab die Bücher von Papula. Hab ich alles da. Hab auch für Mechanik Groß, Hauger.
Ich wollte eigentlich nur mal schnell fragen, ob mal jemand genau die Aufgabe erklären kann. Ich weiß du hast es erklärt aber ich verstehe ich es immer noch nicht
Das habe ich getan. Wenn du nun noch das anwendest was im Buch steht sollte das doch nur noch Mechanik sein. Die Mechanik solltest du allerdings beherrschen, die kann ich dir nicht bei bringen.
Mechanik ist kein Problem. Im Gegensatz zu Mathe bin ich da richtig gut also 1,0 😎. Aber Mathe bin ich nicht der beste. Reicht zwar um die Klausur zu bestehen, aber leider nicht auf dem Level von Mechanik.
Wenn du Lust hast und dich auf mein minderwertiges Mathe Level herabzulassen , kannst du mir gerne die Aufgabe nochmal erklären (vielleicht ausführlicher). Ich verstehs nämlich nicht :(
Warum ist der tan als du den für sin/cos eingesetzt hast unter den Bruchstrich gepackt?
Ich hab mein aktuellen Stand mal ergänzt.
Woher weiß ich was ich jetzt machen muss? Ich weiß es wurde schon erklärt aber ich verstehe nicht wie ihr darauf kommt
Das steht doch jetzt in der zweiten Zeile meiner Rechnung. Jetzt kommt die Substitution. Wenn du die Substitutionsregel nicht verstanden hast, wirst du nicht umhin kommen dir die noch mal anzuschauen.
Hast du nen link zur Substitutionsregel. Meine Bücher sind bei meinen Eltern. Oder hast du nen Bild aus dem Buch von Papula?
Ich habe den Papula nicht selbst. Ich habe "richtige" Matheamtikbücher (Heuser I) :-). Fachbücher sind immer da wo man selbst ist. Bei deinen Eltern nutzen sie dir nämlich gar nichts, oder willst du dir die Inhalte von deinen Eltern per Telefon vorlesen lassen?
https://studyflix.de/mathematik/integration-durch-substitution-1783
Halte dich nicht bei der Theorie auf, beginne bei "Substitution und Differentiale". Ich bin jetzt für heute raus. Du mußt unbedingt an den Grundlagen, insbesondere der Termrechnung arbeiten. Das du einfache Termketten wie die vorliegenden nicht nachverfolgen kannst wird dir beim Verständnis immer im Weg stehen.
Wie erweitere ich denn den Bruch mit cos(7x). Ich ergänze mal was in der Aufgabe. Kannst du mir bitte zeigen/ erklären was ich dann wie erweitere?
Ist meine Erweiterung (Ergänzung in der Frage richtig)?