Produktintegration von ∫ sin(x)* cos^³(x)?
Ich muss die stammfunktion von integral( sin(x)* cos^3(x) ) berechen, mit der Produktiontegration UND der Integration durch Substitution, kann mir das jemand vorrechnen?
2 Antworten
Hallo,
wenn Du cos²(x) durch 1-sin²(x) ausdrückst (nach dem trigonometrischen Pythagoras), bekommst Du sin(x)*cos(x)*(1-sin²(x)).
Nun kannst Du sin(x) durch u substituieren. Da du/dx=cos(x) und dx=du/cos(x), kürzt sich der Kosinus weg und es bleibt sin(x)*(1-sin²(x)) und nach der Substitution
sin(x)=u u*(1-u²) übrig.
Nun Produktintegration auf u*(1-u²) anwenden, wobei u differenziert wird und 1-u² integriert. (Ausmultiplizieren geht auch und ist einfacher).
Anschließend wieder u durch sin(x) ersetzen.
Herzliche Grüße,
Willy
Partielle Integration:
∫ f'(x) * g(x) = f(x) * g(x) - ∫ f(x) * g'(x) dx
f(x) = -cos(x) ; f'(x) = sin(x) ; g(x) = cos³(x) ; g'(x) = 3 * cos²(x) * (-sin(x))
∫ sin(x) * cos³(x) dx = -cos(x) * cos³(x) - ∫ -cos(x) * 3 * cos²(x) * (-sin(x)) dx
∫ sin(x) * cos³(x) dx = -cos⁴(x) - 3 * ∫ cos³(x) * sin(x) dx
4 * ∫ sin(x) * cos³(x) dx = -cos⁴(x)
∫ sin(x) * cos³(x) dx = (-1 / 4) * cos⁴(x) + C
na endlich , FS hat es geschafft , selber nix zu probieren