Partielle Integration, welche Voraussetzung ist verletzt?
Hey,
ich möchte wie im Bild zu sehen das Integral über 1/(x ln(x)) lösen.
Mit Substitution komme ich schnell auf das Ergebnis ln|ln(x)| +C, C in R.
Mittels partieller Integration laufe ich aber in eine falsche Aussage.
Bei den einzelnen Rechnungen bin ich inzwischen sehr sicher, dass sie stimmen.
Daher denke ich, dass hier eine Voraussetzung für partielle Integration nicht gegeben ist...Mein erster Gedanke war, dass der ln für negative x nicht definiert ist. Aber wenn ich das unbestimmte Integral ändere auf ein Intervall von z.B. 4 bis 10, dann leibt das Problem...
ich bin echt ratlos und dankbar für Hilfe!
Mfg
2 Antworten
∫ (1 / (x * ln(x))) dx
Substitution:
u = ln(x)
du / dx = 1 / x
∫ (1 / (x * ln(x))) dx = ∫ (du / dx) * (1 / u) * dx = ∫ (1 / u) du = ln(u) + C
Rücksubstitution:
∫ (1 / (x * ln(x))) dx = ln(│ln(x)│) + C
passt!
Partielle Integration:
∫ f(x) * g’(x) dx = f(x) * g(x) - ∫ f’(x) * g(x) dx
f(x) = 1 / ln(x) ; f’(x) = -1 / (x * ln²(x))
g(x) = ln(x) ; g’(x) = 1 / x
∫ (1 / (x * ln(x))) dx = (1 / ln(x)) * ln(x) - ∫ (-1 / (x * ln²(x))) * ln(x) dx
∫ (1 / (x * ln(x))) dx = 1 - ∫ (-1 / (x * ln(x))) dx
∫ (1 / (x * ln(x))) dx = 1 + ∫ (1 / (x * ln(x))) dx
Daraus sollte man nicht schlussfolgern, 0 sei 1.
Die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung liefern beide Stammfunktionen von (1 / (x * ln(x))). Sie unterscheiden sich in der Integrationskonstanten. Insofern ist die Gleichung stimmig. Sie hilft aber nicht hinsichtlich der Bestimmung der konkreten Stammfunktion.
Danke, deine Antwort hat mir am meisten geholfen. Bei manchen integralen funktioniert ja der Trick dass rechts irgendwann das selbe wie links auftaucht, und man dann umstellt. daher hab ich das hier auch gemacht und mich von der 1 etwas verwirren lassen....aber stimmt, die 1 kann ich mit den Integrationskonstanten verrechnen
Die partielle Integration ist ja noch nicht fertig, jetzt nimmst du beiden Seiten in den Grenzen a und b, dann fällt die 1 wieder raus.