was ist die wurzel von cos^4+sin^4?
Ich muss die bogenlänge von (cos^3(t),sin^3(t)) berechnen. Hab die Ableitung gebildet : und dann die Ableitung in die Wurzel: Wurzel (9*cos^4(t)*sin^2(t)+9*sin^4(t)*cos^2(t))
6 Antworten
Theoretisch ließe lässt sich das umformen zu
0,5 sqrt(3+cos(4x))
indem man erstmal durch Addition und Subtraktion das Quadrat ergänzt, und dann erst die Doppelwinkelformel für den Sinus und danach für den Cosinus anwendet.
Aber bei der Aufgabe die du in einem Kommentar erwähnt hast kommt was ganz anderes raus. Du hast anscheinend einen Fehler beim Ausklammern gemacht. Du kannst nur Terme ausklammern, die in beidem Summanden vorhanden sind. Das sind in diesem Fall cos^2 und sin^2, aber als Produkt. Dann bleibt tatsächlich der Phytagoras für cos und sin übrig, aber dein Ausklammern ist nicht genau so richtig.
Schau dir das mal an, oben die Umformung von cos^4 + sin^4 und unten das richtige Ausklammern mit Lösung, wenn du noch Fragen hast kannst du gerne nen Kommentar schreiben.
Sorry für die Unsauberkeit, ich muss mal lernen mit dem Formeleditor auf gutefrage umzugehen :D
Ich weiß jetzt leider nicht genau welche Stelle du meinst 😅
Meinst du die ersten Zeilen in der oberen Rechnung, wie ich auf 2sin^2 *cos^2 gekommen bin?
oder den Schritt von der 2. zur 4. Zeile in der unteren Rechnung? Beachte dass die 3. Zeile falsch ist, das ist das was du aus Versehen gemacht hast!
Das ist Ausklammern/Faktorisieren. Man nimmt aus allen Summanden das raus was in allen drin ist. Das schreibt man als Produkt vor die Klammer, dann schaut man was bei jedem Summanden übrig bleibt und schreibt das dann als Summe in die Klammer.
In beiden Summanden steckt sin^2 und cos^2, deshalb hab ich das als Produkt vor die Klammer geschrieben. Übrig bleibt dann im 1. Summanden cos^2 und im 2. Summanden bleibt sin^2 übrig. In der Klammer steht also cos^2 + sin^2.
cos^4 *sin^2 + sin^4 *cos^2 = sin^2 * cos^2 *(cos^2 + sin^2)
Ist es jetzt klarer geworden? 😅
du behauptest weiter ,dass :
komisch die lösung ist cos(t) sin(t) laut lösungsblatt
für die Wurzel aus cos^4 + sin^4 ???
oder ist die Frage doch anders und es geht um das :
Wurzel (9*cos^4(t)*sin^2(t)+9*sin^4(t)*cos^2(t)) ????????????
cos^4+sin^4=(cos^2+sin^2)^2-2cos^2sin^2=1-2cos^2sin^2
=(1+sqrt{2}cos sin)(1-sqrt{2}cos sin)
Also das ist ne Wurzel, aber ob das nun einfacher ist?
Grüße
Der Term
Wurzel [ (cos(x))^4 + (sin(x))^4 ]
lässt sich nicht algebraisch vereinfachen.
Sorry, etwas wäre doch möglich:
Wurzel [ cos(4 x) + 3 ] / 2
komisch die lösung ist cos(t) sin(t) laut lösungsblatt
Ach was ...
Dann gib doch bitte mal die Originalaufgabe (Volltext inkl. Variablen) und die angebliche "Lösung" an !
wolfram hat da was gefunden , jedenfalls gibt W das an : 1/2 sqrt(3 + cos(4 x))
1/2*sqrt(cos(4*x)+3)
Stimmt - da hatte ich richtig gerechnet, aber nachher beim Abschreiben ein Vorzeichen zu viel reingelesen
Naja, das wäre jetzt doch eine nette Übungsaufgabe zu den trigonometrischen Funktionen ...
Ich würde mal etwa versuchen, den Sinusterm zu eliminieren mit
(sin(x)^2 = 1 - (cos(x)^2
Dann weiter mit Doppelwinkelformeln etc.
Vermutlich lässt sich das über die Komplexe e-Funktion zeigen:
sin(x)=(ie^(-ix)-ie(ix))/2)=im(e^(ix))
cos(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2=re(e^ix)
also ergibt Sin(x)^4+cos(x)^4 (nach ausklammern)
1/16((e^(-ix)-e^(ix))^4+(e^(-ix)+e^(ix))^4)
Wenn man das auflöst müsste sich eigentlich ziemlich viel wegstreichen
Hab es in meiner Antwort beschrieben, erst quadratische Ergänzung, dann Doppelwinkel vom Sinus, dann Doppelwinkel vom Cosinus :)
Super! Wie bist du darauf gekommen von cos^4*sin^2+sin^4*cos^2 auf: cos^2*sin^2+cos^2*sin^2?