Wurzel beim Ableiten ignorieren?

Es gibt ja gewisse Wurzelfunktionen, bei denen das Bilden einer Anleitung einfach keinen Spaß macht. In einigen Fällen braucht man die Ableitung ja auch nur dazu, um Extrempunkte oder Wendepunkte zu berechnen. Hier kann man dann auch allen Anscheins nach einfach die Wurzel ignorieren und nur den Radikand ableiten kann, ohne, dass durch mangelnde Äquivalentsumformung Fehler entstehen. Liege ich mit dieser Annahme richtig? Und wenn ja, wie kann ich die Ableitung des Radikand bezeichnen? Wenn meine Ausgangsfunktion f(x)=(...)^0.5 ist, dann wäre die Bezeichnen f'(x)=(...)' ja falsch.

Answer 1

[RIDDICC]

1. deine These ist also, dass im Falle von $f(x)=\sqrt{g(x)}$ die Ableitungen f' und g' die gleichen Nullstellen haben?
2. g' ist dann auf jeden Fall nicht die Ableitung von f, sondern die Ableitung von g (also dem Radikanten)... n kürzeren Begriff dafür kenn ich jedenfalls nicht...
3. zu deiner These kann man noch n bisschen die Kettenregel betrachten: $f'(x)=g'(x)\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{g\left(x\right)}}$ in der Tat kann f'(x) nur genau da Nullstellen haben, wo g'(x) auch Null ist, weil 1 durch irgendwas nunmal nicht Null wird...
4. https://matheguru.com/differentialrechnung/ableitung-einer-wurzel.html

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[AOMkayyy]

$f\left(x\right)\ =\ \sqrt[n]{g\left(x\right)}$ $f'\left(x\right)\ =n\ \cdot\sqrt[n-1]{g\left(x\right)}\cdot g'\left(x\right)$ Für den Fall Quadratwurzel:

$f'\left(x\right)\ =\frac{1}{1\ \sqrt{g\left(x\right)}}\cdot g'\left(x\right)\$ Daher, die Wurzel zu ignorieren ist vielleicht nicht so gut.

Comments

[AOMkayyy]

Oh lol, ich es ist wohl etwas spät, die erste Ableitung ist natürlich auch Schwachsinn. Es müsste g(x) ^{(1/n)-1} sein, sorry!

[AOMkayyy]

@AOMkayyy

Und dementsprechend auch 1/n nicht n als Faktor...

[AOMkayyy]

P.S. Unter dem Bruch muss natürlich eine Zwei hin, keine Eins.

[AOMkayyy]

Ableitung des Radianten wäre hierbei natürlich g'(x), aber warum du die Wurzel für die Extrempunktberechnung meinst ignorieren zu können ist mir nicht ganz klar. Natürlich, alle Nullstellen die g'(x) erzeugt sind auch Nullstellen von f'(x), aber eben nicht alle und das ist ja auch nicht das einzig relevante

[RIDDICC]

@AOMkayyy

welche Nullstellen könnte f' denn haben, die g' nich hat?

[AOMkayyy]

@RIDDICC

Stimmt, wenn ich jetzt so drüber nachdenke dürfte es für die NS irrelevant sein, aber für die allgemeine Extremstellenberechnung leider immer noch nicht.

Answer 3

[BooWseR]

Wenn

$f\left(x\right)\ =\ \ \sqrt{\left(...\right)}$

Dann ist

$f'\left(x\right)\ =\ \frac{1}{2\sqrt{\left(...\right)}}$

Je nach dem was in deiner (...) steht kommen noch die Ableitungsregeln zum Tragen. Allerdings siehst du ja, dass deine Annahme nicht stimmt. Man kann die Wurzel nicht unbeachtet lassen.

Comments

[LordSartorius]

Ich kann das so unterschreiben.

[RIDDICC]

@LordSartorius

echt? sicher?

[LordSartorius]

@RIDDICC

Ich habe mit keinem Wort erwähnt, dass du mit deiner Annahme diese Frage richtig zu beantworten, falsch liegst. Ich habe ihm nur zugestimmt, dass man so eine Wurzelfunktion ableiten kann.

Wenn du jetzt damit bei anderen Leuten flexen willst, wäre es schon ein richtig trauriger move...

[RIDDICC]

@LordSartorius

ach so... ich dachte du unterschreibst auch den Teil mit der angeblich nich stimmenden Annahme... das ist ja alles wieder gut... grins

[RIDDICC]

es geht doch nur um die Nullstellen von f'... und die fallen doch mit den Nullstellen von (...)' zusammen... oda? hab ich in meiner Antwort jedenfalls bewiesen... LOL oda?

[BooWseR]

@RIDDICC

Nein, geht es nicht. Seine Frage handelt von der Bestimmung von "Extrempunkte oder Wendepunkte" und behauptet: "Hier kann man dann auch allen Anscheins nach einfach die Wurzel ignorieren". Ich sage Nein, da mit "Extrempunkten oder Wendepunkten" eben nicht nur Nullstellen gemeint sind.

[RIDDICC]

@BooWseR

er schreibt ja „oder“... es ist ihm also egal, ob Minimum, Maximum oder Wendestelle... oda?

Answer 4

[MagicalGrill]

Da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, liegst du mit der Annahme teilweise richtig. Beachten musst du nur, dass dein Radikand einen scheinbar größeren Definitionsbereich aufweisen kann als die ursprüngliche Funktion, wie zum Beispiel bei der Funktion f(x) = (x² - 1)^(0.5).

In diesem Fall musst du Extremstellen des Radikanden ignorieren, die außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen Funktion liegen und schauen, ob die Randwerte des Definitionsbereichs Extremstellen sind.