Hallo zusammen,
ich bin hier nicht so sicher, wie ich die Bijektivität zeigen soll. Übrigens, gibt es ein Unterschied, ob ich etwas begründen oder beweisen soll?
Ich habe überlegt und bin auf folgende Ideen gekommen:
Injektivität:
Injektiv heißt ja, wenn aus f(n) = f(m) folgt n=m. Das würde also bedeuten:
- n/(1-n^2) = m/(1-m^2).
- <=> n(1-m^2) = m(1-n^2). /ausmultiplizieren
- <=> n - nm^2 = m - mn^2. /-(m-mn^2)
- <=> n - nm^2 - m + mn^2 = 0
- <=> n -m + mn^2 - nm^2 = 0
- <=> n-m +mn(n-m) = 0. / Faktorisieren
- <=> (n - m)(1 + mn) = 0. / : (1 + mn)
- <=> n - m = 0 / + m
- <=> n = m oder m = -1/n
Bei Schritt 8 - 9 bin ich mir unsicher, weil einerseits habe ich das, was ich zeigen wollte also dass n = m ist. Auf der anderen Seite habe ich aber m = -1/n stehen. Aber es sollten doch beides richtig sein wegen dem "oder" ? Also wäre damit die Injektivität gezeigt?
Surjektivität:
Surjektiv heißt ja f(x)=y. In diesem Fall also f( -1 < x < 1) = x/(1-x^2) mit x aus R.
Man erkennt, wenn x sich dem Wert 1 nähert x---->1, wird die Differenz zwischen dem Zähler und Nenner von x/(1-x^2) immer größer, wobei der Zähler immer größer als der Nenner ist. Daraus folgt, dass f(x) unendlich groß wird. Formal geschrieben:
x ----> |1| ===> x/(1-x^2) ---> |unendlich|
Somit ist die Mächtigkeit von |f(x)| = R = | -1<x<1 | Also die Anzhal der Elemente in f(x) ist genau so groß wie die Anzahl der Elemente Definitionsbereich.
Daraus folgt, dass f auch surjektiv ist und somit bijektiv ist.
Wäre das korrekt? Für hilfreiche Antworten wäre ich sehr dankbar!
