Bijektivität zeigen/begründen?

Hallo zusammen,

ich bin hier nicht so sicher, wie ich die Bijektivität zeigen soll. Übrigens, gibt es ein Unterschied, ob ich etwas begründen oder beweisen soll?

Ich habe überlegt und bin auf folgende Ideen gekommen:

Injektivität:

Injektiv heißt ja, wenn aus f(n) = f(m) folgt n=m. Das würde also bedeuten:

1. n/(1-n^2) = m/(1-m^2).
2. <=> n(1-m^2) = m(1-n^2). /ausmultiplizieren
3. <=> n - nm^2 = m - mn^2. /-(m-mn^2)
4. <=> n - nm^2 - m + mn^2 = 0
5. <=> n -m + mn^2 - nm^2 = 0
6. <=> n-m +mn(n-m) = 0. / Faktorisieren
7. <=> (n - m)(1 + mn) = 0. / : (1 + mn)
8. <=> n - m = 0 / + m
9. <=> n = m oder m = -1/n

Bei Schritt 8 - 9 bin ich mir unsicher, weil einerseits habe ich das, was ich zeigen wollte also dass n = m ist. Auf der anderen Seite habe ich aber m = -1/n stehen. Aber es sollten doch beides richtig sein wegen dem "oder" ? Also wäre damit die Injektivität gezeigt?

Surjektivität:

Surjektiv heißt ja f(x)=y. In diesem Fall also f( -1 < x < 1) = x/(1-x^2) mit x aus R.

Man erkennt, wenn x sich dem Wert 1 nähert x---->1, wird die Differenz zwischen dem Zähler und Nenner von x/(1-x^2) immer größer, wobei der Zähler immer größer als der Nenner ist. Daraus folgt, dass f(x) unendlich groß wird. Formal geschrieben:

x ----> |1| ===> x/(1-x^2) ---> |unendlich|

Somit ist die Mächtigkeit von |f(x)| = R = | -1<x<1 | Also die Anzhal der Elemente in f(x) ist genau so groß wie die Anzahl der Elemente Definitionsbereich.

Daraus folgt, dass f auch surjektiv ist und somit bijektiv ist.

Wäre das korrekt? Für hilfreiche Antworten wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

[DerRoll]

In deiner Rechnung gilt immer 1+mn > 0. Warum? Damit ist der Fall m = -1/n ausgeschlossen.

Hinweis: Setze mal für n konkrete Zahlen n € (-1, 1) ein und schaue was du für m erhälst.

Manchmal heißt "Begründen", dass du etwas "mit Worten" beschreiben darfst und auf einen vollständigen formalen Beweis verzichten darfst. Das ist hier aber meiner Meinung nach nicht der Fall.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 2

[nobytree2]

Im Ergebnis m.E. surjektiv und injektiv auf (-1,1) --> bijektiv auf (-1,1)

Zu Deinem Vorgehen Nein, es müssen alle Lösung die Injektitivität beweisen!

Mache doch einfach einen Test mit m = -1/n. Sei n = 2, m also -0,5. Dann ist f(m) gleich f(n) obwohl m ungleich n.

Allerdings haben wir eine Beschränkung mit (-1,1), darüber kann eine Injektion erreicht werden! - wohl ja, weil m = -1/n bedeutet, dass entweder m oder n in der Range sind, aber nicht beide.

$m=-\frac{1}{n}\to m\in\left(-1,1\right)\leftrightarrow n\notin\left(-1,1\right)$

Damit ist das kein Injektionshemmer innerhalb (-1,1)

Und jetzt die Surjektivität, auch nur für (-1,1). Umkehrfunktion

$f\left(x\right)=\frac{x}{1-x^2}\to f\left(x\right)-f\left(x\right)x^2=x\to f\left(x\right)=x+f\left(x\right)x^2$ $1=\frac{x}{f\left(x\right)}+x^2\to\left(x+\frac{1}{2f\left(x\right)}\right)^2=1+\frac{1}{4f^2\left(x\right)}\to x=-\frac{1}{2f\left(x\right)}\pm\sqrt{1+\frac{1}{4f^2\left(x\right)}}$

$f\left(y\right)_+=-\frac{1}{2y}+\sqrt{1+\frac{1}{4y^2}}$

$f\left(y\right)_-=-\frac{1}{2y}-\sqrt{1+\frac{1}{4y^2}}$

für f(x) ungleich 0, hierfür wäre x = 0 = f(x). Jetzt prüfen wir den Bildbereich der Umkehrfunktion. Allerdings schränkt die Wurzel ein, die Wurzel darf nicht negativ werden: es muss gelten

$1+\frac{1}{4y^2}\ge0\ \to y^2\ge-\frac{1}{4}\to wahr\ für\ y\in\mathbb{R}$

passt also, damit surjektiv.

Weiterhin betrachten wir den Urbildbereich der Umkehrfunktion, das ist dann der Bildbereich der Ausgangsfunktion. Die Frage ist jetzt, kann man alles für y einsetzen? Im Ergebnis Ja, bei der 0 musste man aus dieser Umkehrung aussteigen und statt dessen f(0) = 0 definieren, dann passt es aber auch

Man kann es auch über das assymptotische Verhalten prüfen, wen es gegen -1 geht, geht es Richtung minus unendlich, für in Richtung 1 wird es positiv unendlich. Dann müsste man aber noch die Stetigkeitsintervalle mit prüfen! Die Stetigkeit liegt aber zwischen -1 und 1 jeweils exklusive vor.

Answer 3

[nobytree2]

Vorsicht, ich musste in meiner ersten Antwort noch gehörig nachbessern!