Warum ist e^i x = cos x + i (sin x)?

Man kann dies entweder über die Taylor-Reihenentwicklung herleiten, oder man definiert die Funktion

f(x) = Exp(-ix)*(cos(x) + i sin(x))

Nach der Produktregel gilt für deren Ableitung:

f‘(x) = -i*Exp(-ix)*(cos(x) + i sin(x)) + Exp(-ix)*(-sin(x) + i cos(x))

= Exp(-ix) * (-i cos(x) - i^2 sin(x) - sin(x) + i cos(x))

= Exp(-ix) * (-i cos(x) + sin(x) - sin(x) + i cos(x))

= Exp(-ix) * 0

= 0

Also ist f(x) eine Konstante, wegen f(0) = 1 ist f die konstante Funktion 1.

Gemini schreibt folgendes.

Die Eulersche Formel, die besagt, dass e^ix = cos x + i (sin x), ist eine der bemerkenswertesten Formeln in der Mathematik. Sie verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus auf elegante Weise.

Hier ist ein kurzer Überblick darüber, warum diese Formel gilt:

1. Taylorreihen:

 * Die Exponentialfunktion e^x lässt sich als unendliche Summe darstellen, die sogenannte Taylorreihe:

  e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

 * Auch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus lassen sich durch Taylorreihen darstellen:

  sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

  cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...

2. Einsetzen von i x:

 * Wenn wir in die Taylorreihe für e^x den Wert i x einsetzen, wobei i die imaginäre Einheit ist (i^2 = -1), erhalten wir:

  e^ix = 1 + i x + (i x)^2/2! + (i x)^3/3! + ...

3. Vereinfachen und Sortieren:

 * Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 usw., können wir die obige Reihe vereinfachen und nach realen und imaginären Teilen sortieren:

  e^ix = (1 - x^2/2! + x^4/4! - ...) + i (x - x^3/3! + x^5/5! - ...)

4. Erkennen der trigonometrischen Reihen:

 * Die Ausdrücke in den Klammern sind genau die Taylorreihen für cos x bzw. sin x.

5. Ergebnis:

 * Somit erhalten wir:

  e^ix = cos x + i (sin x)

Achtung Hinweis: Das ist von einer KI erstellt worden. Deshalb muss man immer das Ergebnis kritisch hinterfragen. Ich habe da keinen Fehler entdeckt. Ansonsten sollen Mathe Nerds da rummeckern was falsch ist. Und nicht arrogant nur schreiben: Das ist falsch.

Die Herleitung ist als Ausschnitt aus meinen alten Unterrichtskonzepten im Folgendem dargestellt:

Das sieht man, wenn man sich die Taylorreihen-Entwicklung der Funktionen e, Sinus und Cosinus anschaut.

Man kann es auch geometrisch sehen, wenn man die Komplexen Zahlen als eine Form von R² betrachtet.