Additionstheoreme beweis ohne komplexe zahlen (sinus)?

4 Antworten

Ja, man kann es relativ mühsam auch mit geometrischer Interpretation beweisen (Euler-Darstellung komplexer Zahlen auf Einheitskreis ist auch nur Geometrie)

Und hier

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl. Math., BOS, Elektronik/Elektriker, Lebenserfahrung

Behauptung:

sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2) * cos((x – y) / 2)

Beweis:

α + β = x

α - β = y

-----------------

α = (x + y) / 2

β = (x - y) / 2

Additionstheoreme addieren:

sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) +

sin(α – β) = sin(α) * cos(β) – cos(α) * sin(β)

__________________________

sin(α + β) + sin(α – β) = 2 * sin(α) * cos(β)

Substitution:

sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2)) * cos((x – y) / 2))

w.z.b.w.

Das zweite Beispiel ist so ähnlich.


paprikaw22  31.10.2023, 15:13

ja, ... wobei du ja aber schon von den Additionstheoremen ausgegangen bist. Die Umformung ist ja nur eine andere Schreibweise für den selben Sachverhalt. Es geht dem FS ja eher darum wie man das grundsätzlich beweist - oder?

gauss58  31.10.2023, 16:09
@paprikaw22

Irgendetwas setzt man immer voraus. Die Herleitung erfolgte auf Basis der Additionstheoreme. Diese lassen sich bei Bedarf anhand des Einheitskreises herleiten, durch entsprechende Addition bzw. Subtraktion von Streckenabschnitten, die dem Sinus bzw. Kosinus entsprechen.

Ihaveaquesti712 
Beitragsersteller
 30.10.2023, 23:32

Ah ok, das macht Sinn. Thanks a lot