Additionstheoreme beweis ohne komplexe zahlen (sinus)?
Kann man überhaupt additionstherme beweusen ohne komplexe zahlen zu haben (nur Reele zahlen )
Also z.B.
sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2) * cos((x - y)/2)
sin(x) * sin(y) = 1/2 * (cos(x - y) - cos(x + y))
Ich habs ausprobiert aber irgendwie bekomme ich es nicht hin. Mein Lehrer meinte das es wir es versuchen sollen aber er hat nicht gesagt ob man es ohne dieser Eulerformel rechnen kann. (Er hat uns es eigentlich nur nebensätzlich erzählt, obwohl wir noch kaum komplexe zahlen hatten)
4 Antworten
Ja, man kann es relativ mühsam auch mit geometrischer Interpretation beweisen (Euler-Darstellung komplexer Zahlen auf Einheitskreis ist auch nur Geometrie)
Und hier
Wenn man die Reihendarstellung verwendet, kann man das Cauchy-Produkt benutzen.
Behauptung:
sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2) * cos((x – y) / 2)
Beweis:
α + β = x
α - β = y
-----------------
α = (x + y) / 2
β = (x - y) / 2
Additionstheoreme addieren:
sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) +
sin(α – β) = sin(α) * cos(β) – cos(α) * sin(β)
__________________________
sin(α + β) + sin(α – β) = 2 * sin(α) * cos(β)
Substitution:
sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2)) * cos((x – y) / 2))
w.z.b.w.
Das zweite Beispiel ist so ähnlich.
Irgendetwas setzt man immer voraus. Die Herleitung erfolgte auf Basis der Additionstheoreme. Diese lassen sich bei Bedarf anhand des Einheitskreises herleiten, durch entsprechende Addition bzw. Subtraktion von Streckenabschnitten, die dem Sinus bzw. Kosinus entsprechen.
ja, ... wobei du ja aber schon von den Additionstheoremen ausgegangen bist. Die Umformung ist ja nur eine andere Schreibweise für den selben Sachverhalt. Es geht dem FS ja eher darum wie man das grundsätzlich beweist - oder?