Komplexe Schreibweise der trigonometrischen Funktionen?

Hey

ich muss mithilfe von  der komplexen Schreibweise der trigonometrischen Funktionen

x, y und z von: sin(α) + sin(β) = xsin(y)cos(z) berechnen.

kann mir da jemand weiterhelfen? ich weiß garnicht wie ich da rangehen soll.

danke im voraus.

Comments

[LordBrickstone]

Wie lautet die Angabe genau, soll man einfach nur umformen?

[asfasfasf7]

Verwenden Sie die komplexe Schreibweise der trigonometrischen Funktionen zur Lösung der folgenden Fragestellung. 

Answer 1

[tunik123]

Beim Versuch herauszubekommen, was Du eigentlich wissen willst, wäre beinahe meine Glaskugel explodiert.

Ich schreibe a für Alpha, b für Beta, exp(x) für die e-Funktion e^x und j für die imaginäre Einheit.

Es gilt

t1 = exp(j*(y+z)) = exp(j*y) * exp(j*z) // Potenzgesetz

t1 = cos(y+z) + j*sin(y+z)

und t1 = (cos(y) + j*sin(y)) * (cos(z) + j*sin(z))

t1 = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) + j*cos(y)sin(z)

Analog dazu

t2 = exp(j*(y-z)) = exp(j*y) * exp(-j*z)

t2 = cos(y-z) + j*sin(y-z)

und t2 = (cos(y) + j*sin(y)) * (cos(-z) + j*sin(-z))

t2 = cos(y)cos(z) + sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) - j*cos(y)sin(z)

Und die Summe

t1 + t2 = cos(y+z) + j*sin(y+z) + cos(y-z) + j*sin(y-z)

und

t1 + t2 = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) + j*cos(y)sin(z)

+ cos(y)cos(z) + sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) - j*cos(y)sin(z)

t1 + t2 = 2*cos(y)*cos(z) + 2*j*sin(y)cos(z)

Koeffizientenvergleich der Imaginärteile:

sin(y+z) + sin(y-z) = 2 * sin(y)cos(z)

Es drängt sich a = y+z und b = y-z auf.

Damit wird y = (a+b)/2 und z = (a-b)/2.

Und es ist offensichtlich x = 2.

Answer 2

[ralphdieter]

Verwende einfach das Additionstheorem:

sin(α) + sin(β) = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)

Auf der rechten Seite kannst Du die Werte für x, y, z direkt ablesen.

Comments

[tunik123]

Das ist wahr, aber es ging laut meiner Glaskugel wohl darum, genau dieses Additionstheorem herzuleiten.