Komplexe Schreibweise der trigonometrischen Funktionen?
Hey
ich muss mithilfe von der komplexen Schreibweise der trigonometrischen Funktionen
x, y und z von: sin(α) + sin(β) = xsin(y)cos(z) berechnen.
kann mir da jemand weiterhelfen? ich weiß garnicht wie ich da rangehen soll.
danke im voraus.
Wie lautet die Angabe genau, soll man einfach nur umformen?
Verwenden Sie die komplexe Schreibweise der trigonometrischen Funktionen zur Lösung der folgenden Fragestellung.
2 Antworten
Beim Versuch herauszubekommen, was Du eigentlich wissen willst, wäre beinahe meine Glaskugel explodiert.
Ich schreibe a für Alpha, b für Beta, exp(x) für die e-Funktion e^x und j für die imaginäre Einheit.
Es gilt
t1 = exp(j*(y+z)) = exp(j*y) * exp(j*z) // Potenzgesetz
t1 = cos(y+z) + j*sin(y+z)
und t1 = (cos(y) + j*sin(y)) * (cos(z) + j*sin(z))
t1 = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) + j*cos(y)sin(z)
Analog dazu
t2 = exp(j*(y-z)) = exp(j*y) * exp(-j*z)
t2 = cos(y-z) + j*sin(y-z)
und t2 = (cos(y) + j*sin(y)) * (cos(-z) + j*sin(-z))
t2 = cos(y)cos(z) + sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) - j*cos(y)sin(z)
Und die Summe
t1 + t2 = cos(y+z) + j*sin(y+z) + cos(y-z) + j*sin(y-z)
und
t1 + t2 = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) + j*cos(y)sin(z)
+ cos(y)cos(z) + sin(y)sin(z) + j*sin(y)cos(z) - j*cos(y)sin(z)
t1 + t2 = 2*cos(y)*cos(z) + 2*j*sin(y)cos(z)
Koeffizientenvergleich der Imaginärteile:
sin(y+z) + sin(y-z) = 2 * sin(y)cos(z)
Es drängt sich a = y+z und b = y-z auf.
Damit wird y = (a+b)/2 und z = (a-b)/2.
Und es ist offensichtlich x = 2.
Verwende einfach das Additionstheorem:
sin(α) + sin(β) = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)
Auf der rechten Seite kannst Du die Werte für x, y, z direkt ablesen.
Das ist wahr, aber es ging laut meiner Glaskugel wohl darum, genau dieses Additionstheorem herzuleiten.