Stammfunktion?
Wie berechnet man so eine Aufgabe und was habt ihr raus?
4 Antworten
und immer gerne noch + c, lasse ich hier der Einfachheit halber weg, so wohl auch die Aufgabe.
Allgemein für a ungleich 0:
Wenn a = 0, dann, dann wird eine Konstante aufgeleitet, es kommt dann x + c heraus, mit c als beliebiger Konstante.
Du weißt sicherlich, wie man im Fall einer Konstanten a die Funktion
x → (x+a)^n
ableitet. Dann kennst du aber auch eine Stammfunktion einer solchen Potenzfunktion, oder? (Die Kettenregel hat dann eine ganz einfache Form, weil x hier mit dem Vorfaktor 1 auftritt.)
Die Aufgaben wären also damit schon gelöst, wenn nicht vor dem x ein Faktor ungleich 1 stünde (2, 5 bzw. 5/7). Na, dann klammer doch einfach diesen Störfaktor aus
(z.B.: 5x+2 = 5·(x+2/5) )
Der Faktor gerät dann vor die Klammer und muss natürlich beim Potenzieren des Ganzen genauso potenziert werden wie der entstandene Klammerausdruck, ändert aber nichts daran, dass vor der Klammer eine Konstante als Faktor stehenbleibt, und diese ist bei der Stammfunktionssuche völlig "ungefährlich". Du musst nur noch für den Klammerausdruck eine Stammfunktion finden (und dann den eben genannten Faktor davorschreiben). Und der Klammerausdruck hat die angenehme Form (x+a)^n - den wir ja beherrschen (s.o.).
(Auf welche Spur dich der Aufgabensteller mit dem Faktor 1/2 bringen will, weiß ich nicht...)
Merkst du nicht, dass der von mir beschrieben Weg viel einfacher ist?
Und meinst du im Ernst, die von dir angegebene Funktion könnte ich nicht integrieren?
Es ist nur eben ein Fehler, die Menschen nicht zum eigenen Denken, sondern zur Angewöhnen einer Maschinerie erziehen zu wollen. Und "so vorgegeben" ist gar nichts. Das kritisiere ich ja gerade: Das Angeben des Faktors 1/2 führt auf eine völlig unangemessene Spur. Was ich am Ende in Klammern schrieb, sollte für einen Kenner als Ironie verstehbar sein.
Nichts habe ich unterstellt. Nur Dein Lösungsweg klappt so nicht immer unmittelbar, wenn man die Funktion leicht variiert. Da ist der Ansatz von isohypse deutlich allgemeingültiger und lässt sich in die Logik der Aufgabenstellung leicht überführen.
Wie gesagt, Dein Ansatz ist in Ordnung, aber er ist etwas starr. Einfach den Faktor vom x ausklammern - Jo, mach mal bei f(x) = ln(3x). Es ist schon in Ordnung, wie Du es vorschlägst, man muss aber den Anwendungsbereich sehen. Einfacher hier - kann sein, aber nur eingeschränkt verallgemeinerbar.
Das Angeben des Faktors 1/2 führt auf eine völlig unangemessene Spur
Sehe ich nicht so, auch bei der Substitution kommt man zu diesem Faktor, im Übrigen auch mit Deiner Vorgehensweise: (2x + 2)^4 = (2 * (x + 1))^4 = 2^4 * (x+1)^4
16 * Integral (x + 1)^4 = 16 * 1/5 * (x + 1)^5 = 1/2 * 1/5 *(2^5 * (x + 1)^5) =
1/2 * 1/5 * (2x + 2)^5 - mit Sicherheit waren die letzten Schritte entbehrlich, man hätte ei 16 * ... aufhören können. Dafür hast Du die Vorbereit, wenn Du den Faktor herausziehst. Mag in bestimmten Fällen leichter sein, es verbirgt mir aber zu seh die innere Ableitung beim Aufleiten und es ist - wie gesagt - nicht sonderlich verallgemeinerbar. Aber trotzdem pfiffig, manchmal die bessere Variante. Hier dürfte das Lernziel in eine andere Richtung zeigen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution
Du setzt
Jetzt kann du das integral in u lösen und im Erebnis wieder u durch x ersetzen.
Das ist nichts anderes als die Umkehrung der Kettenregel, nur ist das vielleicht nicht auf den ersten Blick ersichtlich.
Überlege dir nochmal wie das mit der Kettenregel funktioniert. Was ist die Ableitung der Inneren Funktion bei der a? Wo kommt also wohl das 1/2 her? Und woher das 1/5?
Der Faktor 1/2 ist easy erklärt: Wir erweitern das Integral um 2 * 1/2, lassen die 2 als "innere Ableitung", die mit der "Aufleitung" verschwindet stehen, und 1/2 wird vor das Integral gesetzt.