Stammfunktion?

Weiß jemand wie man die Stammfunktion von cos(x^2) und sin^2(1/x) berechnet OHNE den Integralrechner zu benutzen?

Comments

[Halbrecht]

du meinst : OHNE den Rechner ??

[milan558]

Ja, sorry verschrieben

Answer 1

[mihisu]

Die Stammfunktionen zur durch den Funktionsterm cos(x²) gegeben Funktion sind (ähnlich wie die Fehlerfunktion) nicht-elementare Funktionen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

Durch das Fresnel-Integral...

$C(x)=\int\limits_{0}^{x}\cos\left(t^2\right)\,\text{d}t$

... ist eine entsprechende Stammfunktion.

Aber man kann da nicht wirklich eine „schöne“ Form (beruhend auf elementaren Funktionen) angeben.

========

Die durch den Funktionsterm (sin(1/x))² gegebene Funktion besitzt ebenfalls keine elementare Stammfunktion.

====== Ergänzung ======

Für beliebige reelle Zahlen a, b mit 0 < a < b gilt...

$\int\limits_{a}^{b} \cos\left(x^2\right)\,\text{d}x$

$=\int\limits_{a}^{b} \underbrace{\frac{1}{2x}}_{h(x)}\cdot \underbrace{2x\cdot \cos\left(x^2\right)}_{g'(x)}\,\text{d}x$

$=\left[\underbrace{\frac{1}{2x}}_{h(x)}\cdot \underbrace{\sin\left(x^2\right)}_{g(x)}\right]_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b} \underbrace{\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}_{h(x)}\cdot \underbrace{\sin\left(x^2\right)}_{g(x)}\,\text{d}x$

$=\frac{\sin\left(b^2\right)}{2b}-\frac{\sin\left(a^2\right)}{2a}+\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin\left(x^2\right)}{2x^2}\,\text{d}x$

Man kann für 0 ≤ x ≤ 1 nun |sin(x²)| ≤ x² abschätzen und damit zeigen, dass das Integral von sin(x²)/(2x²) im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 wegen Majorantenkriterium absolut konvergiert. Man kann für 1 ≤ x auch |sin(x²)| ≤ 1 abschätzen und damit zeigen, dass das Integral von sin(x²)/(2x²) im Bereich 1 ≤ x < ∞ wegen Majorantenkriterium absolut konvergiert. Der Grenzwert von sin(b²)/(2b) für b gegen unendlich ist 0. Und der Grenzwert von sin(a²)/(2a) für a gegen 0 ist 0. Dementsprechend erhält man dann...

$\int\limits_{0}^{\infty}\cos\left(x^2\right)\,\text{d}x=\underbrace{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x^2\right)}{2x^2}\,\text{d}x}_{\text{konvergiert (Majorantenkrit.)}}$

Und aus Symmetriegründen (da cos(x²) eine gerade Funktion ist) existiert das Integral von cos(x²) im Bereich -∞ < x ≤ 0 mit dem gleichen Wert, sodass dann insgesamt auch das Integral im Bereich -∞ < x < ∞ existiert.

------------

Mit Substitution t = 1/x erhält man für alle reellen Zahlen a, b mit 0 < a < b...

$\int\limits_{a}^{b}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^2\,\text{d}x=\int\limits_{\frac{1}{a}}^{\frac{1}{b}}\left(\sin\left(t\right)\right)^2\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)\,\text{d}t$

$=\int\limits_{\frac{1}{b}}^{\frac{1}{a}}\frac{\left(\sin\left(t\right)\right)^2}{t^2}\,\text{d}t$

Also erhält man...

$\int\limits_{0}^{\infty}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^2\,\text{d}x=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\left(\sin\left(t\right)\right)^2}{t^2}\,\text{d}t$

Das Integral auf der rechten Seite existiert, wie man mit Hilfe des Majorantenkriterium zeigen kann, indem man beispielsweise wieder |sin(t)| ≤ 1 für t ≥ 1 und |sin(t)| ≤ |t| für 0 ≤ t ≤ 1 abschätzt.

Aus Symmetriegründen, da durch (sin(1/x))² eine gerade Funktion gegeben ist, existiert dann auch das entsprechende Integral im Bereich -∞ < x ≤ 0 mit dem gleichen Wert, sodass dann insgesamt auch das Integral im Bereich -∞ < x < ∞ existiert.

Comments

[milan558]

Also die ganze Aufgabe war: Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren für unendlich bis minus unendlich

[mihisu]

@milan558

Naja. Das ist ja wiederum eine ganz andere Frage, wenn man das Integral mit speziellen Grenzen betrachtet, statt allgemeiner eine Stammfunktion zu suchen.

Ich habe bei meiner Antwort eine entsprechende Ergänzung hinzugefügt, wie man vorgehen könnte. Da gibt es bestimmt durchaus noch andere Lösungswege, wie man das zeigen könnte. Aber die von mir beschriebenen Lösungswege sind mir als erstes dazu eingefallen.

Answer 2

[Halbrecht]

Wenn man Fresnel nicht kennt , kommt man nicht weit

Comments

[milan558]

in der Vorlesung hatten wir den noch nicht gehabt