Integrieren von cos(kx)*cos(x)?

Hallo! Ich komme bei folgendem Integral nicht weiter, und habe auch im internet nichts hilfreiches gefunden:

wenn man hier ja die Produktregel anwendet, gibt es eine endlose schlage von integralen...

Answer 1

[evtldocha]

Das Integral kann man mit einem Additionstheorem und anschließender Substitution lösen. Es gilt:

$\cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)\ \$ $\cos^2\left(x\right)=1-\sin^2\left(x\right)$

und damit insgesamt $\cos\left(2x\right)=1-2\cdot\sin^2\left(x\right)$

Damit schreibt sich das Integral: $\int\left(1-2\cdot\sin^2\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)\ dx$

Nun substituiere: $v\left(x\right)=\ \sin\left(x\right)\ \to dv\ =\cos\left(x\ \right)\ dx\ \to dx=\frac{dv}{\cos\left(x\right)}$

Mit dieser Substitution wird daraus: $\int\left(1-2v^2\right)dv\ \$

Und ab hier ist es dann ein Leichtes ...

Answer 2

[Perso2024]

cos(a)*cos(b) = 1/2 * (cos(a+b)+cos(a-b))

a = 2x; b=x

1/2 * (cos(a+b)+cos(a-b)) = 1/2 (cos(3x) + (cos(x))

hilft dir das?

Anderer Weg:

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
cos²(x) = 1 - sin²(x)

und somit

cos(2x) = 1-sin²(x)-sin²(x) = 1-2sin²(x)

Substitution:

u=sin(x)

du = cos(x) dx