[Mathe] Verhältnis Fläche Quadrat - Fläche seines Umkreises?

Guten Nachmittag,

leider verstehe ich die folgende Aufgabe noch gar nicht. Ich freue mich sehr auf eure hilfreichen und leicht verständlichen Erklärungen.

Wie ist das Verhältnis von der Fläche eines Quadrates zur Fläche seines Umkreises?

Antwortmöglichkeiten:

A: 1/0,5 π

B: 2/0,5 π

C: 2/2 π

D: 1,5/π

E: 1/π

Answer 1

[mihisu]

Du hast ein Quadrat mit einem gewissen Flächeninhalt A[Quadrat].
(Rot schraffiert in der folgenden Skizze.)

Du hast den Umkreis um das Quadrat mit einem gewissen Flächeninhalt A[Kreis].
(Blau schraffiert in der folgenden Skizze.)

Gesucht ist nun das Verhältnis A[Quadrat]/A[Kreis] der beiden Flächeninhalte.

=============

Hinweise zur Lösung der Aufgabe:

Das Quadrat hat eine gewisse Seitenlänge a. Wir groß ist der Flächeninhalt des Quadrats (in Abhängigkeit von a)? Wie groß ist der Umkreisradius r in Abhängigkeit von a? Wie groß ist dann der Flächeninhalt des Kreises (in Abhängigkeit von a)? Bild dann den Quotienten der beiden Flächeninhalte, um das gesuchte Ergebnis zu erhalten. (Dabei kürzt sich dann der Parameter a raus, sodass das Ergebnis unabhängig von a ist.)

============

Zur Lösung der Aufgabe...

Die Seitenlänge des Quadrats wird mit a bezeichnet.

Der Durchmesser d des Umkreises entspricht der Diagonalenlänge des Quadrats. Mit Satz des Pythagoras erhält man...

$d^2=a^2+a^2$

$d^2=2\cdot a^2$

$d=\sqrt{2}\cdot a$

Der Kreisradius r ist gleich dem halben Kreisdurchmesser.

$r=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$

Für den Flächeninhalt des Kreises erhält man dann...

$A_\text{Kreis}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\right)=\pi\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2$

Für den Flächeninhalt des Quadrats erhält man...

$A_\text{Quadrat}=a^2$

Für das gesuchte Verhältnis von Quadratfläche zur Kreisfläche erhält man dann schließlich...

$\frac{A_\text{Quadrat}}{A_\text{Kreis}}=\frac{a^2}{\pi\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2}=\frac{1}{\pi\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{0\text{,}5\,\pi}$

Dementsprechend wird Antwortmöglichkeit A richtig sein.

Zumindest dann, wenn mit 1/0,5 π eigentlich 1/(0,5 π) gemeint ist. Denn eigentlich ist „1/0,5 π“ falsch. Es müsste eigentlich „1/(0,5 π)“ lauten. Denn...

$1/0\text{,}5\,\pi=\frac{1}{0\text{,}5}\cdot \pi=2\pi\ne 1/\left(0\text{,}5\,\pi\right)=\frac{1}{0\text{,}5\,\pi}=\frac{2}{\pi}$

Comments

[maennlich2002]

Zumindest dann, wenn mit 1/0,5 π eigentlich 1/(0,5 π) gemeint ist. Denn eigentlich ist „1/0,5 π“ falsch. Es müsste eigentlich „1/(0,5 π)“ lauten. Denn...

In der Frage geht es ja explizit um ein Verhältnis und nicht um einen Bruch bzw. eine Zahl.

Daher ist ja klar, dass es zwei Seiten gibt, die gegenüberstellt werden A zu B, A : B oder A/B. Und diese zwei Seiten gelten finde ich auch noch, wenn zusätzliche Faktoren dazukommen:
A : 0,5 B.

Wie siehst du das?

[mihisu]

@maennlich2002

Bei einem Verhältnis, welches in der Form A : 0,5 B angegeben wird, könnte ich mir das ja noch einreden lassen. Aber auch da wäre dann eher A : (0,5 B) empfehlenswert, um Verwirrungen vorzubeugen.

Wenn man das jedoch als Bruch in Form von A / 0,5 B angibt, sehe ich eine Klammer als notwendig an.

Letztendlich wird ein Verhältnis zweier Zahlen a und b in der Regel quasi auch mit dem Quotienten a/b gleichgesetzt. Daher ist die Frage nach dem Verhältnis von a zu b im Grunde die Frage nach dem Quotienten bzw. Bruch a/b. Nicht ohne Grund wird auch der Doppeltpunkt „ : “ nicht für das Verhältnis verwendet, genauso wie es als Rechenoperator für die Division verwendet wird. Und die rationalen Zahlen (als Brüche bzw. Verhältnisse), die man gerne mit Bruchschreibweise aufschreibt, heißen auch nicht ohne Grund so. (Verhältnis ≙ ratio)

[maennlich2002]

🤩🤩🤩🙏🙏🙏 Vielen Dank!

Answer 2

[Halbrecht]

Keine Längenangaben .

Macht nix

Entweder man wählt als Seitenlänge des Quadrat die Zahl 1 oder den Parameter a 

.

Der Umkreis des Qua hat den Radius einer halben Qua-Diagonale d .

Was man anhand einer Skizze auf dem Papier oder papierlos im Kopf feststellt . 

d² = a² + a²

d = a*wurzel(2)

r = a/2 * w(2)

.

fläche Umkreis

pi * ( a/2 * w(2) ) ²

pi * a²/4 * 2 

pi * a²/2

.

fläche Qua

a²

.

Verhältnis

a² / ( pi * a²/2 ) =

2a²/pi*a² = 

2/pi 

.

nun muss man noch erkennen , dass hier seltsam und !!!!! unmathematisch !!!!! gekürzt wurde mit 2

2/2 / pi/2 = 

1 / 0.5 * pi 

Answer 3

[LoverOfPi]

Sei a die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist seine Fläche a².

Der Durchmesser des Umkreises ist genau die Diagonale des Quadrates. Also √2*a. Damit ist seine Fläche π*(√2/2*a)²=π*a²*0.5

Daraus ergibt sich als Verhältnis der Flächen a²/(π*a²*0.5)=1/(π*0.5)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Answer 4

[AMG38]

Rechnerische Herangehensweisen wurden ja bereits beschrieben. Alternativ eine banale Herangehensweise mit Annäherungen.

Wie oft passt eine Scheibe, die einen Quadrat umschließt, in das Quadrat selbst rein?Offensichtlich kein einziges mal, weil die Scheibe selbst größer ist. Deshalb können pauschal alle Ergebnisse, die größer 1 sind, durchgestrichen werden (B).

Die C und E sind gleich, weil 2/2π = 1/π ist und diese Optionen allein deshalb schon ausscheiden.

Nun kann man sich überlegen: Passt die Fläche des Kreises eher mit weniger als die Hälfte in die Quadratfläche, oder eher mit mehr als seine Hälfte? Gedanklich wird klar, dass schon ein Großteil des Kreises Fläche in die Quadratfläche hineinpasst. Es muss also mit mehr als 50% reinpassen.

Da du nur noch A und D als Option hast, kannst du schauen, welche der beiden Antworten größer oder kleiner 0,5 ist.

A: 1/0,5π = 2/π > 0,5

D: 1,5/π < 0,5

Answer 5

[rr1957]

ok, sei die Seitenlänge des Quadrates "s" (das kürzt sich dann eh raus)

Dann ist die Quadratfläche s²

Der Umkreis hat als Radius die halbe Diagonale, und deren Länge ist Wurzel(s²+s²)/2 (mit Pythagoras).

Die Fläche ist π * (Wurzel(s²+s²)/2)² = π * 2s²/4 = π * s²/2

Verhältnis Quadratfläche zu Umkreisfläche ist also s² / (s²/2 * π) = 1/(0,5 * π)

Also Antwort A.