Stimmt die aufgestellte Funktionsgleichung?
Hallöchen,
ich hab ein Mathe eine Aufgabe, wozu ich eine Funktionsgleichung aufstellen muss. Ich bin mir aber nicht sicher, ob die so stimmt.
Aufgabe: In einem Garten sind 1,5m² Unkraut. Der Gärtner geht von einer exponentiellen Ausbreitung aus. 10 Tage später sind es bereits 2m².
Funktionsgleichung: f(t)= 1,5*e^ln(1,015)*t
= 1,5*e^0,0149*t
Unkraut bewachsene Fläche nach 14 Tagen: f(14)= 1,5*e^0,0149*14 = 1,848
Geht meine Rechnung auf?
2 Antworten
Kann nicht aufgehen - wenn sich nach 10 Tagen der Rasen auf bereits 2 m^2 ausgebreitet hat, können es nach 14 Tagen nicht 1,84 m^2 sein; dann wäre der Rasen ja zwischen dem 10. und 14. Tag wieder geschrumpft… :-) Deswegen am Ende einer Rechnung das Ergebnis immer auf Plausibilität checken!
Allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum:
f(t) = c*Exp(a*t), es ist f(0) = c*Exp(a*0) = c*Exp(0) = c = 1,5
Jetzt kann man den Parameter a mit der Rasenfläche nach 10 Tagen ausrechnen:
f(10) = 1,5*Exp(a*10) = 2, also Exp(a*10) = 2/1,5 = 4/3, somit 10*a = Log(4/3) und schliesslich: a = Log(4/3)/10. Jetzt kannst Du f(14) berechnen… :-)
Wenn Du Rundungsfehler im Endergebnis vermeiden willst, rechnest Du die Parameter nicht einzeln aus (Fehlerfortpflanzung), sondern errechnest das Endergebnis direkt. Es gilt:
f(t) = c*Exp(a*t) = 1,5*Exp(Log(4/3)/10*t) = 1,5*(Exp(4/3))^(t/10)=1,5*(4/3)^(t/10),
also
f(14) = 1,5*(4/3)^(14/10) = 1,5*(4/3)^(7/5)
Hier ist meine:
f(0) = 1,5
f(10) = 2 = 1,5*a^10
a = 10te Wurzel aus 4/3 = 1,029
Rechne für deinen Ansatz mal f(10) aus...
Stimmt, ist mir gar nicht aufgefallen:) Könntest du mir sagen, wo mein Fehler liegt?