Kann mir jemand bei dieser Mathe-Aufgabe helfen?
Hi,
ich habe da ein kleines Problemchen mit einer Matheaufgabe.
Hier erst einmal die Aufgabenstellung:
"Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h. Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r = 50cm soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen?"
So wie ich das verstehe ist die Formel für die Tragfähigkeit T=c•b•h², ich hab schon versucht irgendwelche Funktionen und Verkettungen aufzustellen, aber jedesmal bringt mich der Proportionalitätsfaktor c komplett rauß.
Ich bin übrigens in der 11ten Klasse und die Aufgabe steht im Kapitel "Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen"
Hier muss man doch eine Funktion T(x) aufstellen, sodass ich mit T'(x) und T"(x) das Maximum der Funktion berechnen kann, aber ich weiß wirklich nicht wie ich die Funktion aufstellen muss.
Es wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
LG von Franzi
3 Antworten
T = b * h² ist die Hauptbedingung.
Nebenbedingung: b und h sind ein Rechteck und müssen in einen Kreis mit Radius r passen
Das ist komplizierter. Ich würde hier einen Viertelkreis modellieren, denn dafür kenne ich eine Funktion.
x ist die Breite b/2 und f(x) ist die Höhe h/2. Die Kreisgleichung ist f(x) = Wurzel(r² - x²)
Anzumerken und im Hinterkopf behalten werden muss nun, dass ich nur im ersten Quadranten arbeite und dann dort man die halbe Breite und die halbe Höhe hat und daher ein Viertel der Tragfähigkeit.
Nebenbedinung:
NB: b/2=x und h/2=f(x) bilden ein Rechteck und müssen in den Viertelkreis passen
Die Beziehung zwischen Breite, Höhe und dem Radius ist:
NB: f(x) = Wurzel(r² - x²)
T(x)/4 = x/2 * f(x)²/2
Bisschen durcheinander, aber jetzt kann man wieder auf einen Vollkreis modellieren, in dem man mit 4 multipliziert:
T(x) = x * f(x)²
Einsetzen:
T(x) = x * (r² - x²)
T(x) = x * r² - x³
Nun das Maximum suchen
T'(x) = r² - 3x²
0 = r² - 3x²
3x² = r²
x² = r²/3
x1 = -Wurzel(r²/3) und x2 = Wurzel(r²/3) = 28,86 cm
Wir nehmen nur die positive Lösung x2. Die maximale Tragfähigkeit ist bei einer einem Radius von x = 28,86 cm gegeben. Die Breite b beträgt dann b = 2*x
b = 57,72 cm
Die halbe Höhe an der Stelle kann man mit der Viertelkreisgleichung ausrechnen.
h/2 = f(x) = Wurzel(r² - x²)
h/2 = f(x) = Wurzel(50² - 28,86²) = 40,83 cm
h = 81,66 cm
Ich habe mich die ganze Zeit gefragt was das sein soll und warum der wichtig sein soll? Wenn du die Gleichung meinst T = c * b * h² dann bedeutet c nur, bei c = 2, dass du zwei Baumstämme verwendest oder c = 4 dann vier Baumstämme. Also nur c = 1 für 1 Baumstamm. Das wäre meine mathematische Interpretation davon. Falls die anders sein soll, musst du mir das erklären. Die anderen Antwortenden hatten das auch nicht.
Naja wir wissen, dass T ~ b * h² ist, und um die Proportionalität in der Gleichung auszudrücken müssen wir ja einen Proportionalitätsfaktor einführen. Bspw. in der Physik ist die Flächenladungsdichte sigma proportional zur Elektrischen feldstärke E. Um diese Proportionalität in der Gleichung auszudrücken hat man also den Proportionalitätsfaktor epsilon 0 eingeführt, sodass die gleichung dann sigma = epsilon 0 * E ist. Genauso muss ja bei T ~ b * h² ein solcher Proportionalitätsfaktor eingeführt werden um zu wissen inwiefern T ~ b *h² ist. Weißt du was ich damit sagen will?
Ich weiß was du damit sagen willst. Hier eine Beziehung wie man die Anzahl der Autos über die Autoreifenanzahl ausrechnen könnte.
Auto(Reifen) = c * Reifen
f(x) = c * x
c = 1/4
bei x = 12 Reifen gibt es
f(12) = 1/4 * 12 Reifen = 4 Autos
Also ich habe verstanden was du mir damit sagen willst.
Du setzt nun jedoch die Tragfähigkeit ins Verhältnis zur Breite und Höhe. T ~ b * h²
Es kommt dann als Einheit für die Tragfähigkeit raus T = cm * cm². Damit hätte die Tragfähigkeit ein Volumen. Das wäre aber falsch. Die Tragfähigkeit könnte die Einheit Newton haben. Wie kommt man also nun von cm³ zu Newton. Durch die c Konstante. Diese hätte die Einheit N/cm³.
Wovon ist c denn noch abhängig?
- Material: Ein Baumstamm aus Holz ist schlechter als ein "Baumstamm aus Metall"
- Perfektion des Materials: Hat der Baumstamm störende Äste? Das nennt man Imperfektionen.
- Temperatur: Vielleicht ist Holz bei niedrigen Temperaturen steifer, aber bricht schneller?
Also c = c1 * c2 * c3 * ......
Jetzt die Aufgabe:
Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h.
Das hast du erkannt: T ~ b *h²
Wie sind Breite und Höhe zu wählen?
Aha! Es ist nicht gefragt, wie hoch denn nun wirklich die Tragfähigkeit ist. Es ist nur nach b und h gefragt. Problem gelöst 😉
c muss ja auch keine Konstante sein. Man könnte ja auch sagen die Tragfähigkeit hängt vom Alter des Holzes ab, oder der Anzahl der Holzwürmer x , die dann quadratisch in ihrer Anzahl das Holz schädigen. Dann wäre
c(x) = k / x^2
k müsste man dann auch wieder experimentell bestimmen.
Ja, die Welt ist verrückt 🙂👍
Richtig. 🤗👍
c ändert zwar die Tragfähigkeit, nicht aber das Verhältnis oder die konkreten Längen von b und h.
pythagoras
h²+b² = 4r²
h = wurzel(4r² - b²)
T = b • h²
T = b(4r² - b²)
T = 4r²b - b³
T ' = 4r² - 3b² = 0
b = 2r / wurzel(3)
h = 2r • wurzel(2/3)
Aber da fehlt ja jetzt komplett der Proportionalitätsfaktor c, den kann man ja nicht einfach ignorieren
Wenn du ein Extemum für Höhe und Breite hast, ist der Wert auch für das c-fache extrem.
Die Tragfähigkeit ist proportional zu dem Produkt b*h².
b und h sind Seiten des Rechtecks, das in den kreisförmigen Balkenquerschnitt passen muss. Skizze machen!
Das ist mir ja bewusst, aber ich muss ja jetzt rechnerisch auf b und h kommen, indem ich dass Maximum von T berechne, da bringt mir eine Skizze leider nichts. Ich kann daraus ja nicht b oder h genau ablesen, da diese Theoretisch unendlich viele Nachkommastellen haben könnten
Sorry, dass ich mich jetzt so dumm anstelle aber die Skizze bringt mir echt nichts
Kreis mit einbeschriebenem Rechteck, Seiten h und b, Diagonale 2r.
Dann Satz des Pythagoras anwenden.
Und was mache ich mit dem Proportionalitätsfaktor c? Den darf man doch nicht einfach vernachlässigen oder?