Extremwertprobleme lösen
Wir beginnen gerade ein neues Thema in Mathe und ich bin jetzt schon in Schwierigkeiten.
Es geht um Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen.
Die Aufgabe lautet:
Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalem Inhalt umrandet. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen?
ich würde euch bitten mir einen ausführlichen Lösungsweg zu schildern, da ich leider noch nicht so gut mit dem Thema klarkomme und noch andere Aufgaben dieser Art auf mich warten.
Danke für eure Hilfe :)
3 Antworten
Nebenbedingung: 2x+2y=50 (immer das Gegebene) und Hauptbed. A(max)=x * y und Nebenbed. nach einer unbekannten umstellen und in Hauptbed. einsetzen, damit du da nur noch eine unbekannte hast und dann Hauptbed. ableiten und gleich 0 setzen und Unbekannte berechnen. Nebenbed. x=-y+25 und einsetzen, ergibt. A=(-y+25) * y und A=-y²+25y und ableiten A ' = -2y+25=0 und y=12,5 und einsetzen in Nebenbed. ergibt x=12,5 also Rechtecksseiten beide 12,5 cm; dh das Quadrat hat den größen Flächeninhalt, nämlich A=12,5²=156,25 cm²
Hier kurz gezeigt wie ich an die Sache gehen würde:
Nicht schön aber selten! Hoffentlich hilft es!
Was man als erstes immer braucht ist eine Funktion abhängig von einer Variablen nach der man ableiten kann. Da kommt deine Nebenbedingung ins Spiel.
Das ist eigentlich immer der schwerste Teil, auf die Funktion kommen. Der Rest ist nur noch malen nach Zahlen.
Umfang des Rechtecks ist also dann 50 cm.
50 = 2 * ( Länge + Breite) |: 2
25 = Länge + Breite
wenn x die Länge ist, danm ist die Breite 25 - x
also die Flläche A = x *(25 - x)
also unsere Funktionist f(x) = 25x - x²
wo ist diese maximal.
Da wo die Ableitung =0 also
f ' (x) = 25 -2x
25 - 2x = 0 | +2x
25 = 2x |:2
x = 12,5 cm
Breite ist 25-12,5 =12,5.
Fläche ist also 12.5² =156,25
Fläche ist also maximal wenn Reechteck ein Quadrat ist.
Ich bearbeite gerade die selbe Aufgabe. Ich habe für die Länge „a“ benutzt und für die Breite „b“. In dem Beispiel oben wurde aber für beide (Länge und Breite) „x“ benutzt. Wie kann das sein? Länge und Breite sind ja verschiedene Dinge.