Extremwertprobleme mit Nebenbedingung?
Hey ich bin etwas überfragt bei folgender Aufgabe; ein Spiegel ist 100 cm hoch und 40 cm breit. Er ist auf den Boden gefallen und ein dreieckiges Stück ist abgegangen, also ist er auf EINER Seite nur noch 80cm lang. Nun möchte ich ihn so beschneiden lassen, dass mein rechteckiger Spiegel eine maximale Fläche hat.
ich hatte einige Ansätze aber laut meinem Lehrer alle falsch. Ich bin wirklich verzweifelt ,weiß jemand welche zielfunktion es ist und was die nebenbedingung?
2 Antworten
Hallo,
ich rechne mal in Dezimetern, dann muss ich weniger Nullen schreiben.
Ich lege ein Koordinatensystem so fest:
x-Achse ist die untere Kante,
y-Achse ist die linke Kante des Spiegels.
Die schräge Kante wird durch g(x)=mx+b beschrieben.
g(0)=8=m•0+b=b
g(4)=10=m•4+8 --> m=0,5
g(x)=0,5x+8
Nun muss das Rechteck bestimmt werden. Denk dir einen Punkt P(x|g(x)) auf der Geraden g. Von dem schneidest du nach unten zur x-Achse und nach rechts zur senkrechten Spiegelkante.
Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist dann
A=(4-x)•g(x)
A(x)=(4-x)•(0,5x+8)
Das entspricht einer nach unten geöffneten Parabel, von der du den Hochpunkt bestimmen musst.
A(x)=-0.5x²-6x+32
A'(x)=-x-6=0 --> x=-6
Das liegt außerhalb der Definitionsmenge {x|0<x<4}.
Es könnte also ein Randmaximum vorliegen.
A(0)=4•8=32
A(4)=0
Damit sollte das obere Dreieck vollständig abgeschnitten werden, damit der maximal mögliche Flächeninhalt 32dm²=3200cm² erreicht wird.
🤓
Hier noch eine kleine Animation:
Hast du so schnell schon das Koordinatensystem eingezeichnet?
Dann müsstest du erkennen, dass die Gerade durch den Punkt (0|8) verläuft.
g(x)=y, also
g(0)=8
Oder kennst du die Schreibweise f(x) nicht?
Gradengleichung g(x) der Bruchkante enthält die Nebenbedingung.
A = x*g(x) ist dann die Zielfunktion.
Hier Extrema bestimmen (mögliche Randextrema beachten)
Kannst du das vielleicht etwas weiter ausführen genauer? Verstehe noch garnicht
Lass die Gerade in der linken oberen Ecke beginnen:
g(0) = 100, g(40) = 80
g(x) = -1/2x+80
A(x) = x*(-1/2x+80)
Was ist gemeint mit g(0) ?