Lagrange Aufgabe, Nebenbedingung aufstellen?
Wir haben gelernt, die Nebenbedingung nach 0 umzustellen und mit lambda zu multiplizieren. Das zusammen mit f(x,y) addiert wäre dann die Lagrange Funktion. Das Problem hier ist, dass die untere Menge keine Gleichung ist. Gibt es einen Weg diese Menge als die Lösung einer Gleichung darzustellen? Also gibt es eine Gleichung, die eine quadratische Fläche als Lösung hat?
3 Antworten
Die hier wohl einfachste Möglichkeit ist, die Seiten des Quadrats einzeln zu betrachten, die Extrema hier zu berechnen und mit den Werten der globalen zu vergleichen (für die Frage, ob sie global sind) sowie ihre Richtungsableitungen ins Innere des Gebietes (um zu prüfen, ob sie tatsächlich Extrema sind und nicht z. B. die Funktion von einem Minimum am Rand in Richtung Mitte etwa noch weiter abfällt).
Sonst verwendet man "Penalty-Funktionen", die nichtnegativ sind und die Annäherung an den Rand "bestrafen", und zwar in einer Weise von einem Parameter abhängig, dass sie z. B. für Parameter gegen Unendlich im Innern des erlaubten Gebiets überall gegen 0 geht, aber an oder hinter den Rändern gegen unendlich. Diese Penalty-Funktion addiert man zur Zielfunktion hinzu (bei der Suche nach Minima) bzw. zieht sie von der Zielfunktion ab (bei der Suche nach Maxima).
Hier würde sich etwa eignen
p_a(x,y) = (-((x+1)/2)^2 + 1)^-a + (-((y-1)/2)^2 + 1)^-a - 2
oder
p_a(x,y) = e^(a ( ((x+1)/2)^2 + ((y-1)/2)^2 - 2) )
(ohne Gewähr)
Es gibt keine "Nebenbedingung" in dem Sinne, du musst einfach nur alle Extrema suchen und am Ende entscheiden, ob diese im angegeben Quadrat liegen. Ebenfalls solltest du wohl auch noch die Ränder betrachten, weil diese könnten globale Extrema sein.
welche Nebenbedingung? Die Grenzen für x und y?