Extremwerte mit Nebenbedingungen - Aufgabe: Zylindrischer Wasserspreichers, Volumen 1000l - Blechverbrauch minimal Habe schon einen Ansatz passt aber nicht hin?

Hallo,

bei solchen Aufgaben mußt Du das, was extrem werden soll, als Funktion aufschreiben. Hier geht es darum, daß der Materialverbauch für einen Zylinder möglichst gering sein soll. Du brauchst also die Formel für die Oberfläche eines Zylinders. Die besteht aus der Mantelfläche, die Du aus dem Kreisumfang und der Höhe berechnest, denn wenn Du den Mantel eines Zylinders abwickelst, bekommst Du ein Rechteck, dessen Fläche sich aus 2πr*h berechnet.

Dazu kommt noch die Bodenfläche, damit das Wasser nicht unten hinausläuft: πr². Einen Deckel braucht der Wasserspeicher wohl nicht.

Die Oberfläche des Zylinders mit Boden, aber ohne Deckel, errechnet sich mithin aus 2πr*h+πr²

Damit wäre unsere Funktion f(r) schon beinahe fertig, wenn das h nicht wäre, das ebenfalls unbekannt ist.

Dafür haben wir die Nebenbedingung:
Das Volumen des Zylinders soll 1000 m³ betragen.

Also: πr²*h=1000

Somit ist h=1000/(πr²)

Diesen Ausdruck können wir nun in die Funktion einsetzen:

f(r)=2πr*1000/(πr²)+πr²

Hier können wir kürzen:

f(r)=2000/r+πr² bzw. πr²+2000/r

Da wir einen Extremwert suchen, bilden wir die erste Ableitung:

f'(r)=2πr-2000/r², denn 2000/r=2000*rˉ¹, davon die Ableitung: -2000*rˉ², und das ist -2000/r²

Diese Ableitung müssen wir gleich Null setzen:

f'(r)=0, also

2πr=2000/r² |*r² :2π

r³=1000/π

r=³√(1000/π)=6,828 m

Da h=1000/(πr²), folgt: h=6,828

Nimmst Du den Deckel dazu, lautet f(r)=2πr²+2000/r

f'(r)=4πr-2000/r²

f'(r)=0 folgt:

4πr=2000/r²

r=³√(500/π)=5,4193

Dann ist h=10,838, doppelt so groß wie r.

Herzliche Grüße,

Willy

V = π r² h → h = V / (π r²)

O = 2π r² + 2π r h = 2π r² + 2π r V / (π r²) = 2π r² + 2V/r

O‘(r) = 4π r ‒ 2V/r² = 0 → 2π r ‒ V/r² = 0 → 2π r³ ‒ V = 0 → r³ = V/2π

(→ h³ = 4V/π)