Mathematik: Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen
folgende Aufgabe:
Die Funktion f und g mit f(x)=4-0,25x^2 und g(x)=0,5x^2-2 begrenzen eine Fläche, der ein zur y-Achse symetrisches Rechteck ABCD einbeschrieben wird. A und B liegen auf dem Graphen von f, C und D auf dem Graphen von g.
Das Rechteck soll einen möglichst großen Fächeninhalt haben. Stelle die Zielfunktion mithilfe der Funktionsgleichungen von f und g auf.
Hier finde ich irgentwie überhaupt keinen Ansatz. Für Hilfe wäre ich sher dankbar. Vielen Dank im Voraus.
4 Antworten
Zuerst sind die beiden Schnittpunkte von f(x) mit g(x) zu berechnen. Schließlich müssen die x-Werte der Eckpunkte innerhalb des Intervalls zwischen (oder auf) dem kleineren und dem größeren Schnittpukt liegen. Das bekommt man mit den Nullstellen von f(x)=g(x).
Im nächsten Schritt nimmst Du einen beliebigen x-Wert aus diesem Intervall und weist nach, dass f(x) die Hüllfläche nach oben und g(x) nach unten begrenzt. Dann kann man die Höhe der Hüllfläche in diesem Intervall festsetzen als h(x)=f(x)-g(x).
Aus der Forderung "zur y-Achse symetrisch" finden wir möglicherweise mehrere Rechtecke für die h(x)=h(-x) innerhalb dieses Intervalles gilt. Interessant ist aber nur jenes, wo die Fläche maximal ist, also das Maximum der Fläche F(x) = x * h(x) + x * h(-x) = 2 * x * h(x) = 2 * x * h(-x) . Dazu wäre die 2. Ableitung auszuwerten.
Damit hast Du genug Forderungen und Gleichungen, um die Lösungsmenge eindeutig zu bestimmen.
Aus der Forderung, dass A und B auf f(x) liegen, C und D auf g(x) und der korrekten Reihenfolge der Bezeichnungen im Rechteck sieht das Ganze so aus:
A = ( x | f(x) ), B = ( -x | f(-x) ), C = ( -x | g(-x) ), d = ( x | g(x) )
A= 2x * ( f(x) + g(x) ) und ableitung =0
Fertige zunächst eine Skizze der Funktionen an. Der obere rechte Punkt des gesuchten Rechtecks liegt auf dem Graphen von f. Diesen Punkt bezeichne mit A und die weiteren Punkte wie üblich entgegen dem Uhrzeigersinn mit B, C und D. Daraus ergibt sich, dass auch der Punkt B auf dem Graphen von f liegt (linker oberer Punkt), während die Punkte C (linker unterer Punkt) und D (rechter unterer Punkt) auf dem Graphen von g liegen, also so, wie in der Aufgabenstellung gefordert.
Die Punkte haben daher die folgenden Koordinaten:
A ( xa, f ( xa ) )
B ( xb, f ( xb ) )
C ( xc, g ( xc ) )
D ( xd, g ( xd ) )
Der Flächeninhalt F des gesuchten Rechteckes ist das Produkt der Längen der Strecken AB = xa - xb und BC = yb - yc. Er beträgt daher:
F = ( xa - xb ) * ( yb - yc )
= ( xa - xb ) * ( f ( xb ) - g ( xc ) )
Da es sich um ein Rechteck handeln soll, muss nach Lage der Punkte B und C gelten:
xc = xb und xa = xd
und da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse sein soll, muss zudem gelten:
xa = - xb
sodass sich insgesamt für den Flächeninhalt die nur noch von xb abhängige Formel:
F ( xb ) = ( - xb - xb ) * ( f ( xb ) - g ( xb ) )
= - 2 * xb * ( f ( xb ) - g ( xb ) )
ergibt. Setzt man hier die Funktionsterme von f und g ein, erhält man daraus:
= - 2 * xb * ( 4 - 0,25 xb ² - ( 0,5 * xb ² - 2 ) )
= - 2 * xb * ( 4 - 0,25 xb ² - 0,5 xb ² + 2 )
= - 2 * xb * ( 6 - 0,75 * xb ² )
= 1,5 xb ³ - 12 xb
.
Von dieser Funktion soll nun das Maximum bestimmt werden, also muss man zunächst die Kandidaten für eine Extremstelle finden. Dies sind die Nullstellen der ersten Ableitung des obigen Ausdrucks, also:
F ' ( xb ) = [ 1,5 xb ³ - 12 * xb ] ' = 4,5 xb ² - 12 = 0
<=> 4,5 xb ² = 12
<=> xb ² = 8 / 3
<=> xb = +/- Wurzel ( 8 / 3 ) = 1,63... (gerundet)
Nach Konstruktion kommt für xb nur die negative Wurzel in Frage, also:
xb = - Wurzel ( 8 / 3)
Daraus ergibt sich wegen xa = - xb :
xa = Wurzel ( 8 / 3 )
sowie wegen xc = xb :
xc = - Wurzel ( 8 / 3 )
und wegen xd = xa :
xd = Wurzel ( 8 / 3 )
Die y-Koordinaten der Punkte ergebn sich durch einsetzen in die jeweilige Funktion, also:
ya = f ( xa ) = f ( Wurzel ( 8 / 3 ) ) = 4 - ( 1 / 4 ) * ( 8 / 3 ) = 4 - 2 / 3 = 10 / 3
yb = f ( xb ) = f ( - Wurzel ( 8 / 3 ) ) = 4 - ( 1 / 4 ) * ( 8 / 3 ) = 4 - 2 / 3 = 10 / 3
yc = g ( xc ) = g ( - Wurzel ( 8 / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) * ( 8 / 3 ) - 2 = ( 8 / 6 ) - 2 = - 2 / 3
yd = g ( xd ) = g ( Wurzel ( 8 / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) * ( 8 / 3 ) - 2 = ( 8 / 6 ) - 2 = - 2 / 3
Funktion aufstellen, 1. Ableitung bilden und das relative Maxima ausrechnen.
Das Problem ist nur wie bzw. welche Funktion aufstellen? Ableitung und Maxima würde ich dann hinkriegen.