Extremwertproblemen, große Schwierigkeiten!
Hallo, das ist heute meine 2 Mathe Frage. Diesmal geht es um Extremwertprobleme. Und ich verstehe praktisch garnichts. Im Mathe Hefter steht auch keine Erklärung. Also komme ich zu euch.
Vorweg: Alles was ich über Extremwertprobleme weiß ist, dass man Extremwerte sucht. Dafür muss man aus der Aufgabenstellung heraus eine Funktion aufstellen und damit dann das Problem lösen. Dann gibt es noch etwas wie Haupt und Nebenbedingungen, aber ich weiß damit auch nichts wirklich anzufangen.
Dazu hätte ich dann hier die Aufgabe:
Eine Elektronikfirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 25€. Die Marktforschungsabteilung dieser Firma hat festgestellt, dass sich der durchschnitliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von einem Euro um jeweils 300 Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatlichen Einnahmen am größten?
Als 1. würde ich das gegebene herausschreiben:
5000 Stück pro Monat, Stückpreis= 25€, Pro 1 € weniger - 300 mehr Verkäufe.
Aber was fange ich jetzt damit an? Ich bin ratlos... Ich brauch echt dringend eure Hilfe.
Vielen Dank
5 Antworten
Da gibts keine Formel für, da muss man die Aufgabe lesen und verstehen. Und dann eine Formel aufstellen, die das Problem beschreibt.
Einnahmen = Stück * Stückpreis
Stück und Stückpreis sind abhängig von, sagen wir, "der Verbilligung" v:
Einnahmen(v) = Stück(v) * Stückpreis(v)
Mit den gegebenen Zahlen also:
Einnahmen(v) = (5000 + 300*v) [Stück] * (25 - v) [Stückpreis]
Oder, anders geschrieben und vielleicht geläufiger:
f(x) = (5000 + 300x) * (25 - x)
= 5000*(25 - x) + 300x * (25 - x)
= 125000 - 5000x + 7500x - 300x^2
= -300x^2 + 2500x + 125000
Das ist ne nach unten geöffnete Parabel. Deren einziger Extremwert ist ein Hochpunkt, und zwar am Scheitel. Also entweder Scheitel bestimmen, oder ganz allgemein, 1. Ableitung und davon die Nullstellen. Bei dieser Parabel darf es nur genau eine geben:
f'(x) = -600x + 2500
0 = -600 x + 2500
600x = 2500
x = 2500/600 = 25/6 ~ 4.167
Höchste Einnahmen also bei 25 - 4.167 = 20.834 EUR/Stück
Vielen Dank. Dein und Bujins Lösungsweg gefallen mir am besten.
Vielen Dank für die Super Antwort :)
Du Musst die Funktion des monatlichen Absatzes Aufstellen (in Abhängigkeit vom Stückpreis).
Ich habe die Lösung, zur Erstellung der Gleichung:
Darzustellen sind die Einnahmen y in Abhängigkeit von dem Stückpreis x.
- 1. Fakt:
bei jeder Stückpreissenkung von 1 Euro erhöht sich der Absatz um 300 Stück.
--> als Gleichung dargestellt: 500+300(25-x)
Dies kann man jetzt vereinfachen, in dem man es ausklammert und zusammenfasst:
--> 500+7500-300x --> 12500-300x
2. Fakt:
die eben ausgerechnete Formel bestimmt nur den Absatz, bei Verringerung des Stückpreises. Jetzt fehlen noch die dadurch enstehenden Einnahmen. Absatz mal Stückpreis ergibt hier die Einnahmen. Und der Stückpreis ist ja x. Also das ganze mit x multiplizieren:
--> (12500-300x)x
Das kann man jetzt durch ausklammern wieder vereinfachen:
--> -300x²+12500x
Somit sind die Einnahmen in Abhängigkeit von der Stückzahl darzustellen mit:
f(x) = -300x² + 12500x
Diese Funktion stimmt definitiv. Aber du kannst es ja nochmal ausprobieren ;)
Um nun noch den Extremwert (die höchsten Einnahmen) heraus zubekommen, musst du von der Funktion die Ableitung bilden und gucken, wo diese 0 wird. Dann findest du de Extrempunkt. Ich hoffe, dass kannst du berechnen. Falls doch nicht: Schreib mich an!
Ich hoffe, es ist alles verständlich.
Gruß, Herbert.
Hi, da muss man einfach rumprobieren. Ich sage einfach was ich tue würde, eventuell kommst du auf die Denkweise.
Erstmal weißt du, dass du 5000 Stk. verkaufst zu nem Stückpreis von 25€ also kannst du schreiben
Umsatz = 25*5000
wenn du jetzt von den 25, X mal 1 abziehst, schreibt sich das so.
Umsatz = (25 - 1x)*5000
gleichzeitig steigt die stückzahl auch X mal um 300! Zusammen also:
Umsatz = (25 - 1x)*(5000 + x * 300)
Das wars eigentlich, so einfach gehts! Jetzt ist der Umsatz eine Funktion von x also:
Umsatz = f(x) = (25 - x)(5000 + x300)
Jetzt nur noch ausmultiplizieren!
f(x) = 25 * 5000 - 5000x +25 * 300x - 300x²
f(x) = -300x² - 5000x + 125.000
Um jetzt einen Extremwert zu berechnen musst du wissen dass die Ableitung die Steigung ist. Ein Extremwertist erreicht wenn die Steigung vom positiven ins negative geht oder umgekehrt.
Dann bist du quasi auf einem Hügel oder in ner Senke des Graphen! Dort wo die Ableitung vom positiven ins negative oder umgekehrt geht, ist offensichtlich eine Nullstelle! Also von den positiven y-Werten zu den negativen muss der Graph die x-Achse schneiden!
Also f'(x) = 0 ergibt einen Extremwert.
Wenn du jetzt den Graphen der Steigung wieder ableitest, erhälst du die Steigung der Ableitung. Die ist in deinem Fall hier konstant weil du eine quadratische Funktion zweimal abgeleitet hast!
Ist die Steigung positiv, geht die Funktion vom Negativen ins Positive. Das bedeutet deine original Funktion hat dort eine Senke / Minimum.
Ist die zweite Ableitung negativ, ist es dementsprechend ein Maximum weil der original Graph von einer positiven in eine negative Steigung geht!
also f''(x) > 0 -> Minimum und f''(x) < 0 -> Maximum
Fehlerteufel :D
Ich hab falsch ausmultipliziert lol
Es muss in der letzten Zeile heißen f(x) = -300x² + 2500x + 125000
Sry!
Das schwierigste ist immer die Gleichung aufzustellen. Wenn man die hat ist der Rest Schema F.
Wenn du das am Anfang nicht immer hin bekommst ist das kein Problem. Ich habe aufm Fahrrad 1 Jahr gebraucht bis ich endlich nen Wheelie konnte. Jetzt kann so lange auf einem Rad fahren bis mich die Polizei anhupt :)
Menge m in Abhängigkeit vom Preis p:
m(p) = a * p + b ..........lineare Gleichung
berechne a, b - dazu folgendes LGS lösen:
5000 = a * 25 + b
5300 = a * 24 + b
=> a = -300 und b=12500
also: m(p) = - 300p + 12500
monatl. Einnahmen E(p) = m(p) * p = - 300p² + 12500p
E '(p) = -600p + 12500 = 0
=> p = 20,8 €
Hab ich mir auch schon irgendwie gedacht. Aber wie mache ich das?
Gibs da eine Art Grundformel, mit welcher ich solche Probleme lösen kann, jedoch sie zuerst umstellen muss o.ä.?