Extrem schwieriges Geometrie Problem?

Nehmen wir an wir haben einen Würfel, dessen Seitenlänge a ist. Wir müssen das Volum der Punktmenge, wobei alle Punkte näher an dem Zentrum des Würfels stationiert sind in vergleich zu den Ecken, ermitteln. Was ist das Volum, hinsichtlich auf a fokusiert.

Comments

[segler1968]

Ich verstehe Deine Frage nicht. Kannst Du das besser erläutern?

[Tablitia]

Was ist unklar, kannst du sagen was du nicht genauer verstehst

[mihisu]

Punkte näher an dem Zentrum des Würfels stationiert sind

Näher an dem Zentrum als zu was anderem zum Vergleich. Der Abstand zum Zentrum soll kleiner als der Abstand wovon sein?

[Tablitia]

Ach so, tut mir Leid. In vergleich zu den Ecken

[mihisu]

Sollen bei der Punktmenge nur die Punkte in dem Würfel betrachtet werden. Oder sollen auch Punkte außerhalb des Würfels betrachtet werden, wenn näher am Zentrum als an Eckpunkt?

[Tablitia]

Nein, nur innerhalb des Würfels

Answer 1

[mihisu]

Ich würde das ganze eingebettet in den ℝ³ sehen.

Zentrum: (0, 0, 0)

Eckpunkte: (-a/2, -a/2, -a/2), (a/2, -a/2, -a/2), (-a/2, a/2, -a/2), (a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, a/2).

Für den Abstand eines Punktes P(x | y | z) vom Zentrum (0, 0, 0) erhält man...

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Für den Abstand des Punktes P(x | y | z) zum Eckpunkt (a/2, a/2, a/2) erhält man...

$\sqrt{(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{a}{2})^2+(z-\frac{a}{2})^2}$

Der Punkt P liegt näher am am Zentrum als am Eckpunkt, wenn gilt...

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}<\sqrt{(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{a}{2})^2+(z-\frac{a}{2})^2}$

$x^2+y^2+z^2<(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{a}{2})^2+(z-\frac{a}{2})^2$

$x^2+y^2+z^2<x^2-a x+\frac{a^2}{4}+y^2-a y+\frac{a^2}{4}+z^2-a z+\frac{a^2}{4}$

$ax+ay+az<\frac{3a^2}{4}$

$x+y+z<\frac{3a}{4}$

Analog erhält man für die anderen 7 Eckpunkte jeweils eine entsprechende Bedingung. Außerdem muss natürlich -a/2 < x < a/2 und -a/2 < x < a/2 und -a/2 < z < a/2. Ein Punkt liegt also genau dann in der entsprechenden Punktmenge, wenn folgende Bedingungen alle erfüllt sind...

 x + y + z < 3a/4
-x + y + z < 3a/4
 x - y + z < 3a/4
-x - y + z < 3a/4
 x + y - z < 3a/4
-x + y - z < 3a/4
 x - y - z < 3a/4
-x - y - z < 3a/4
-a/2 < x < a/2
-a/2 < y < a/2
-a/2 < z < a/2

Lösen wir die Bedingungen zunächst einmal weitestgehend nach x auf...

x <  3a/4 - y - z
x > -3a/4 + y + z
x <  3a/4 + y - z
x > -3a/4 - y + z
x <  3a/4 - y + z
x > -3a/4 + y - z
x <  3a/4 + y + z
x > -3a/4 - y - z
-a/2 < x < a/2
-a/2 < y < a/2
-a/2 < z < a/2

Das kann man dann soweit zusammenfassen...

x < min(a/2, 3a/4 - y - z, 3a/4 + y - z, 3a/4 - y + z, 3a/4 + y + z)
x > max(-a/2, -3a/4 + y + z, -3a/4 - y + z, -3a/4 + y - z, -3a/4 - y - z)
-a/2 < y < a/2
-a/2 < z < a/2

Edit: Uups. Ich habe die Antwort zu früh abgesendet. Ich war noch gar nicht fertig. Das dauert noch ein wenig.

Vielleicht komme ich aber auch erst morgen dazu. Daher erst einmal meine weiteren Ideen dazu: Mit Hilfe von Fallunterscheidungen die Bedingungen mit min/max vereinfachen, um dann Bedingungen der Form...

$x_\text{min}(y, z, a)< x < x_\text{max}(y, z, a)$ $y_\text{min}(z, a)< y < y_\text{max}(z, a)$

$z_\text{min}(a)< z < z_\text{max}(a)$

... zu erhalten und das Volumen der so beschriebenen Punktmenge M mittels Integralrechnung mit...

$\int_{M}\text{d}V=\int_{z_\text{min}}^{z_\text{max}}\left(\int_{y_\text{min}}^{y_\text{max}}\left(\int_{x_\text{min}}^{x_\text{max}}\,\text{d}x\right)\,\text{d}y\right)\,\text{d}z$

... berechnen zu können.

Comments

[Tablitia]

Wow, das Problem habe ich mit Geometrie gelöst. Aber gut gemacht.

[Halbrecht]

@Tablitia

echt jetzt ? du sagst zu mihisu "gut gemacht" ? irre . Weißt du überhaupt wer sich Mühe gemacht hast ?

Bist du der die , der die das große Urteil spricht ?

[Tablitia]

@Halbrecht

Denkst du ich habe ihn dazu gezwungen, außerdem hätte man das nur mit Geometry lösen können

[Tablitia]

@Tablitia

Aber ich kann sehen, der hat sich enorm Mühe geleistet, was ich als sehr empfehlenswert und toll empfinde

Answer 2

[HWSteinberg]

Keine Antwort, die haben schon andere gegeben, aber ein Vorschlag zur Frageformulierung, die glaube ich für jedermann verständlich sein könnte. Statt

"wobei alle Punkte näher an dem Zentrum des Würfels stationiert sind in vergleich zu den Ecken"

würde ich schreiben:

"wobei der Abstand jedes Punktes zum Zentrum kleiner ist als jeder der 8 Abstände zu den 8 Ecken"

Und dann würde ich für die Überlegungen zur Lösung damit beginnen, das Problem zuerst mal für ein 2-dimensionales Quadrat "aufzumalen"

Answer 3

[ralphdieter]

Alle Punkte, die gleich weit vom Mittelpunkt M und einer bestimmten Ecke E entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten (ist eine Ebene) von ME.

Für die 8 Eckpunkte bekommst Du 8 solche Ebenen, die wegen der Symmetrie des Würfels ein reguläres Oktaeder begrenzen.

Wegen |ME| = √3/2·a hat das Oktaeder den Inkugelradius |ME|/2 = √3/4·a und damit die Kantenlänge k = √6 · √3/4·a = 3/4√2·a. Sein Volumen ist also

V = √2/3·k³ = √2/3·(3/4√2·a)³ = 9/16·a³.

Beachte aber, dass die Ecken des Oktaeders aus dem Würfel herausragen: Zum Beispiel ist der Flächenmittelpunkt (0; 0; a/2) ganz offensichtlich näher am M als an jeder Würfelecke. Die Oktaederecke liegt hier tatsächlich bei (0; 0; 3/4a). Wenn die Überstände nicht zählen, musst Du 6 kleine Pyramiden mit Höhe h = a/4 wieder abziehen, die Du zu 3 kleinen Oktaedern mit Umkugelradius h zusammenfassen kannst. Jedes davon hat das Volumen W=√2/3·(√2·a/4)³. Ich komme da auf 3W=a³/16 Verschnitt. Übrig bleibt also genau das halbe Würfelvolumen – ist das nicht schön?

Alle Angaben ohne Gewähr. Rechne besser alles nochmal selbst durch.

Comments

[Tablitia]

Ja, genau. Du hast es auf den Punkt getroffen. Das Volum ist die Hälfte! Absolute klasse

Answer 4

[ShimaG]

Also, wenn die Aufgabe so gestellt ware, dass ich sie verstehen kann, würde ich dir ja gerne helfen. Aber ich verstehe sie nicht.

Du hast also einen Würfel. Und eine Menge, deren Punkte näher am Zentrum des Würfels sind als die Ecken. Klingt für mich nach einer Kugel mit dem Radius a*sqrt(3)/2.

Comments

[ShimaG]

Und du kannst die Aufgabenstellung gerne als Bild in Englisch posten, das verstehen wir schon...

[ChrisGE1267]

So habe ich das auch verstanden…😀

[Tablitia]

Leider nein, habe ich auch versucht. Die Antwort ist a kibik durch 2.

[ShimaG]

@Tablitia

Dann stelle doch bitte mal die Frage richtig. Ich finde das doof, dass man mehr Zeit verbringt, mal die richtige Fragestellung zu bekommen, als mit der eigentlichen Lösung des Problems.

[Tablitia]

@ShimaG

Tut mir Leid, ich hab ein Detail übersehen. Aber das Problem and ich richtig schwierig