Exponentialgleichung lösen?
(e^x)^2 + 2*(e^x) - 3 = 0
Wie löse ich das
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/AusMeinemAlltag/1603367510127_nmmslarge__0_0_272_271_e38e436253b0c7c1b615de0e0d2dbdaa.png?v=1603367510000)
Substitution!
u = e ^ x
Das bedeutet x = ln(u)
u ^ 2 + 2 * u - 3 = 0
pq - Formel anwenden (Google falls unbekannt!):
u_1 = - 3
u_2 = 1
Da u_1 negativ ist führt das wegen x = ln(u) zu imaginären Zahlen, kann man also ignorieren.
Mit u_2 kann man weiterrechnen, es folgt die Rücksubstitution:
x = ln(1) = 0
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Du musst u = e ^ x nach x auflösen.
Das machst du indem du die natürliche Logarithmusfunktion auf beide Seiten der Gleichung anwendest, also:
ln(u) = ln(e ^ x)
ln(u) = x
x = ln(u)
Wenn du u mit Index ermittelt hast dann kannst du x ausrechnen indem du u mit Index da einsetzt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich dachte aber bei der Substitution zieht man die wurzel..
![](https://images.gutefrage.net/media/user/AusMeinemAlltag/1603367510127_nmmslarge__0_0_272_271_e38e436253b0c7c1b615de0e0d2dbdaa.png?v=1603367510000)
Nein, bei Substitution ersetzt du einen Term durch eine Variable um den Ausdruck einfacher zu machen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/indiachinacook/1444747442_nmmslarge.jpg?v=1444747442000)
Das ist einfach eine quadratische Gleichung mit eˣ als Variable. Substituiere y=eˣ, dann kriegst Du y²+2y−3 = 0, das hat die Lösungen y = +1 und −3, und da x=ln(y) gibt es nur eine reelle Lösung für x, nämlich x=ln(1)=0.
Danke. Wie macht man dann die rücksubstitution?