Wie arbeite ich mit x als Grenze für ein Integral?

Ich hab folgendes gegeben:

Wie arbeite ich mit einem Integral das als obere Grenze x hat?
Also z.b. wenn ich I_1(x) hab.

Answer 1

[evtldocha]

Wie arbeite ich mit x als Grenze für ein Integral?

Wie sonst auch. Du bestimmst eine Stammfunktion und setzt anschließend als obere Grenze ein "x" ein. Nur so wird das Integral ja eine Funktion "von x"

Die Krux hier ist (aber das weißt Du ja aus der Gesamtaufgabe und Deiner letzten Frage dazu): Das ergibt eine Rekursion, da man nach der einmaligen partiellen Integration wieder das Ausgangsintegral mit einem um 1 erniedrigten Exponenten in y erhält, also einen Term der Form f(x) + α · I_n-1(x).

Also z.b. wenn ich I_1(x) hab.

$I_1\left(x\right)=\ \int_{_0}^{^x}y\cdot e^ydy\ =\ \left[ye^y\right]_0^{^x}\ -\int_{_0}^{^x}e^ydy\ =\ \left(xe^x-0\right)-\left[e^y\right]_0^{^x}=$ $=xe^x-\left(e^x-e^0\right)=x\cdot e^x-e^x+1=e^x\cdot\left(x-1\right)+1$