Generelle Formulierungen wie "Haustiere verboten" sind ohnehin nichtig, siehe hier: https://www.zoostore.de/Haustier-Haltung-Haustiere-halten-Mietwohnung
Was ein Vermieter allerdings tatsächlich verbieten kann, sind spezifische Tiere wie Hunde (insbesondere Listenhunde), oder auch Tiere wie Würgeschlangen, Frettchen, Vogelspinnen, etc. da von denen eine konkrete Gefahr ausgehen kann. Ist eigentlich auch super in dem Artikel erklärt.
Und ich füge noch hinzu, dass auch andere Faktoren wie ein potenziell gefährdeter Hausfrieden, Tierschutzaspekte, etc. eine entscheidende Rolle spielen können. Also wäre z.B. ein Bienenstock auf der Terrasse, der krähende Hahn auf dem Balkon, die Küchenschabenfarm im Terrarium, fünf Hunde in der Zweizimmerwohnung oder sogar ein ständig krächzender Papagei in der hellhörigen Altbauwohnung durchaus ein guter Grund, zu Gunsten des Hausfriedens die Haltung zu untersagen.
Wenn der Vermieter den Eindruck bekommt, dass der Mieter zur Haltung speziell dieser Tiere ungeeignet ist, kann dieser seine Genehmigung ggf. auch von einem Sachkundenachweis abhängig machen.
Generell sollte man immer vor der Anschaffung von Haustieren mit dem Vermieter reden. Die meisten Vermieter sind nicht die beratungsresistenten Geldhaie, sondern Menschen mit denen man reden kann. Und, wollen wir doch mal ehrlich sein: eigentlich ist es gut, wenn ein Vermieter seine Verantwortung auch den anderen Mietparteien gegenüber ernst nimmt und nicht leichtfertig Ärger in seinem Haus riskiert, der ihm am Ende ja trotzdem wieder selbst auf die Füße fällt, z.B. in Form von Schadenersatzforderungen, Mietkürzungen oder schlechter Presse ("Wie konnte der Vermieter das nur erlauben? ...").