Wie erkenne ich wie viele nullstellen eine Funktion hat?
Morgen schreibe ich die Mathearbeit, und diese Aufgabe kann ich nur bei meinem Lehrer korrigieren lassen und ich war heute nicht in der Schule. Ich habe die Aufgaben gemacht, und wenn jemand es korrigiert, würde ich mich sehr freuen.
1= gestaucht, unten , keine
2= gestreckt, oben, zwei
3= gestreckt, unten, keine
4= gestreckt, oben, zwei
5= gestaucht, unten, eine
6= gestreckt, oben, zwei
7= gestaucht, oben, keine
3 Antworten
Wie erkenne ich wie viele nullstellen eine Funktion hat?
... indem man selbige berechnet, wenn man es nicht sieht. Alle "Regeln", die man hier nennen mag, vergisst man sowieso.
ich meinte ich hätte mal sowas gelernt wie dass sie in einem unendlich großen Bereich immer so viele Nullstellen haben, wie der Grad ist (also die größte Hochzahl) ... wenn es Klammern gibt, muss man die ausmultiplizieren oder die binomische Formel dafür kennen
Da hast Du recht. Aber ich bekomme es im Kopf auch nur hin, weil ich es tausendmal gerechnet habe und daher schon genau weiß, wie der Hase laufen wird. Also hilft es nur, das so lange auf dem Papier zu üben, dass man schon beim Hinsehen erkennt, dass f4 zwei Nullstellen haben wird.
ich meinte ich hätte
Genau das meinte ich mit den Regeln. Die ist natürlich falsch, weil falsch erinnert. Eine der Regeln, die Du hier meinst, lautet: Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen, aber nicht, dass es immer n Nullstellen hat. Und eine Parabel (2-ter Grad) hat im Zweifel keine einzige Nullstelle, wie z.B. x² + 1
ja macht Sinn ... habe halt seit meiner Ausbildung (also eigentlich schon in der Ausbildung) kein Mathe mehr gemacht 😅
Prinzipiell ist es so, dass du bei Polynomfunktionen des Typs axⁿ+bxⁿ⁻¹+cxⁿ⁻²+... (also so etwas wie 5x³-2x²+8) maximal so viele Nullstellen hast wie der Grad der Funktion ist (d.h. der höchste Exponent).
In deinem Fall hast du es ausschließlich mit quadratischen Funktionen zu tun, also mit Funktionen 2. Grades, die demnach maximal 2 Nullstellen haben.
Wie viele (rationale) Nullstellen es im konkreten Fall sind, kommt darauf an, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt.
Liegt der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel über der x-Achse, dann schneidet die Parabel die x-Achse nie, weil die Funktion "umdreht", bevor sie runter zu x-Achse kommt.
Dasselbe ist der Fall, wenn der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel unter der x-Achse liegt.
Was ich hier erkläre, kannst du einfach sehen, wenn du so eine Parabel in ein Koordinatensystem zeichnest.
Liegt der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel unter der x-Achse (oder einer nach unten geöffneten Parabel über ihr), dann muss der Graph ja zweimal über die Achse drüber. Das sind dann die zwei Nullstellen.
Ein Sonderfall ist es, wenn der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse liegt. Wenn du dir vorstellst, dass du eine nach oben geöffnete Parabel, die die x-Achse zweimal schneidet, langsam nach oben ziehst, dann bewegen sich die beiden Schnittpunkte aufeinander zu. Kurz bevor die Parabel die x-Achse nicht mehr schneidet, verschmelzen diese beiden Schnittpunkte zu einem einzigen.
Man spricht dann von einer sog. doppelten Nullstelle, weil man mathematisch gesehen immer noch zwei Nullstellen hat, die aber an derselben Stelle sind. Praktisch gesehen spricht man aber einfach von einer Nullstelle.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, das zu ermitteln. Was immer funktioniert, aber oft arbeitsaufwändiger ist, die Funktionsgleichung gleich Null zu setzen und die Lösungsformel zu benutzen. Die Anzahl der Lösungen ist dann die Anzahl der Nullstellen.
Viel besser ist es, wenn du die Parabelgleichung in Scheitelpunktsform hast, d.h. in der Form a(x-b)² + c.
Das ist in deiner Aufgabe bei allen Parabeln der Fall! 😀
Eine Nullstelle (die oben erwähnte doppelte Nullstelle) hast du immer dann, wenn das c gleich Null ist. Üblicherweise lässt man es weg. Das ist bei den Funktionen 1 und 2, sowie 5 und 6 der Fall.
Liegt der Scheitelpunkt nicht auf der x-Achse, was immer dann der Fall ist, wenn c ungleich Null ist, muss man die Öffnungsrichtung der Parabel mit der Lage des Scheitelpunktes vergleichen.
Es gibt dann entweder zwei Schnittpunkte oder keinen.
Wenn die Parabel nach oben verschoben ist (d.h. c>0), dann gibt es keinen Nullpunkt, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist (d.h. a>0), aber zwei, wenn sie nach unten geöffnet ist (d.h. a<0).
Ist die Parabel nach unter verschoben, ist es genau umgekehrt.
Du könntest zwar auswendig lernen, dass es zwei Schnittpunkte gibt, wenn die Vorzeichen von a und c unterschiedlich sind, und keinen, wenn die Vorzeichen gleich sind, aber es ist besser, wenn du die Logik dahinter verstehst, dann kannst du dir das immer wieder von selbst herleiten.
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Was deine Antworten betrifft, so hast du die Teilaufgaben a) und c) fast alle richtig beantwortet. Der einzige Fehler ist bei f₅. Diese Parabel ist nicht gestaucht; sie ist auch nicht gestreckt, sondern eine Normalparabel, weil der Betrag des Formfaktors a gleich 1 ist! 😉
Die Teilaufgabe d) ist mal richtig, mal falsch, weil du das mit den Nullstellen offensichtlich nicht verstanden hattest. (Es sieht aus, als hättest du die Antworten ausgewürftelt! 😁)
Schau dir die ganzen Parabeln noch mal an, nachdem du meine Erklärung durchgelesen und verinnerlicht hast und gehe nochmal über deine Antworten.
Ach ja, du hast auch die Parabel f₈ vergessen.
Omg du bist der beste!! Danke dir viel Mals und das ist echt peinlich mit der f8😔😔
Schau dir die Funktionen z.B. hier
https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
mal an und überlege dir das mit den Nullstellen noch mal. Später kommt von mir noch eine Ergänzung.
das mit dem Rechnen ist verständlich aber ich muss es auch mal ohne das Rechnen versuchen🙂↕️