knickfreie Funktion?
sagt man nur, dass der Übergang zwischen zwei Funktionen knickfrei sein kann oder wird der Begriff knickfrei auch für Funktionen an sich benutzt? ist bspw. eine Parabel knickfrei? oder welche Arten von Funktionen (unabhängig von einer anderen Funktion) sind an sich knickfrei?
wir machen gerade Integralrechnung und der Lehrer hat gesagt, es wird wahrscheinlich eine Aufgabe mit einer knickfreien Funktion vorkommen
2 Antworten
Die meisten Funktionen, mit denen man es in der Schule zu tun hat, dürften knickfrei sein.
Wenn ich mich richtig erinnere, bedeutet knickfrei doch, dass die Ableitung im Definitionsbereich stetig verläuft. Das ist bei Parabeln definitiv der Fall.
Ein Gegenbeispiel wäre die Betragsfunktion f(x) = |x|. Diese hat bei x=0 einen Knick; die Ableitung ist für x>0 gleich 1, für x<0 gleich -1 und bei x=0 ist die Ableitung nicht definiert. Das ist die Stelle, an der die Ableitung unstetig ist, weil sie von -1 nach +1 springt, was in der ursprünglichen Funktion optisch diesen Knick erzeugt.
Das kann natürlich auch komplexer aussehen, wie z.B. eine nach unten verschobene Parabel innerhalb eines Betrags, z.B.
Hier wird dann das Stück, das normalerweise unter die x-Achse tauchen würde, nach oben gespiegelt und man erhält so einen Huckel. (Graphische Darstellung)
Wenn man das intergriert, muss man dann aufpassen, weil alle Teilflächen natürlich positiv sind (Beispiel), wo sonst die Fläche unter der x-Achse abgezogen gehört (Beispiel).
Ich würde so etwas abschnittsweise integrieren und dann die entsprechenden Teilstücke aufaddieren. Das ist natürlich aufwändiger als die Funktion ohne Knick.
Aber wenn ihr eine Aufgabe mit einer knickfreien Funktion bekommt, könnt ihr euch diesen ganze Zerlegung in Einzelstücke sparen. (Außer natürlich, es ist eine knickfreie Funktion die so gebastelt ist, dass sie sich aus zwei unterschiedlichen Funktionen zusammensetzt, die am Übergang knickfrei ist.)
Mir fällt jetzt auf die Schnelle keine weitere normale, in der Schule gebräuliche Funktion ohne ein offenes oder verstecktes Betragselement ein, das einen Knick hätte.
Mit verstecktem Betrag meine ich solche Sachen wie z.B.
wo die Wurzel das Quadrat aufhebt, aber da die Wurzel nur positive Werte liefern darf, man dann den Betrag dessen, was in der Klammer steht, erhält.
Ich wünsche dir viel Glück und immer einen leckeren 🍒saft!
"Knickfrei" ist alles, was stetig differenzierbar ist.