Uneigentliche Integrale mit zwei Grenzen im Unendlichen?
Hallo, ich halt in ein paar Wochen eine GFS in Mathematik K1 über uneigentliche integrale. Und das Einzige, was ich online gefunden habe, was auf uneigentliche mit zwei Grenzen im unendlichen eingeht, ist dieser Artikel :https://studyflix.de/mathematik/uneigentliche-integrale-1806 Und ich verstehe nicht, warum sie das Integral in zwei integrale aufteilen. Mir ist bewusst, dass man das Machen DARF, aber warum ist es nötig, weil ,zumindest in diesem Fall, geht es doch auch ohne?
Vielen Dank!
1 Antwort
Das KANN man machen, aber nur dann wenn man vernünftig mit zweidimensionalen Folgen umgehen kann. Denn das Integral muß dann für JEDE Folge (a_n, b_n) mit a_n -> unendlich, b_n -> unendlich unabhängig voneinander konvergieren. Mit solchen zweidimensionalen Folgen umzugehen ist nicht ganz einfach und mathematisches Rüstzeug das in der Oberstufe (und auch im ersten Semester Analysis an der HOchschule) nicht vorhanden ist. Daher besser in der Mitte auftrennen.
Das uneigentliche Integral ist ein Grenzwert. Nehmen wir als Beispiel eine unendliche obere Grenze. Dann muß für jede Folge b_n, die gegen unendlich geht, das Integral gegen einen Wert, und zwar für jede Folge gegen den gleichen Wert konvergieren. Wenn du nun gleichzeitig auch eine unendliche untere Grenze hast, benötigst du zwei Folgen und mußt diese auch noch unabhängig voneinander betrachten.
hey sorry ich verstehe es immer noch nicht ganz ich kann doch einfach alles in einem integral machen und dann schauen wohin der Grenzwert geht für -unendlich und wohin für +unendlich und dann subtrahieren.
Wenn du meinst dass du einfach das unbestimmte Integral ausrechnest und dann die Grenzen einsetzt, hast du immer noch einen doppelten Grenzwert, d.h. die obere und die untere Grenze gehen jeweils gegen unendlich und du mußt immer noch zeigen das für jede Grenzbetrachtung der Grenzwert gleich bleibt. Ich weiß dass das eine sehr abstrakte Betrachtungsweise ist, aber sie ist tatsächlich erforderlich. Nehmen wir ein Beispiel, nämlich die Funktion
f(x) = 1 x > 0
f(x) = 0 x = 0
f(x) = -1 x < 0
Offensichtlich kannst du keinen "Trennwert" finden, so dass das uneigentliche Integral konvergiert, da jedes der beiden Integralwerte für sich divergent ist.
Verwendest du statt dessen die stückweise Stammfunktion in den Grenzen von a bis b so erhältst du (nehmen wir der Einfachkeit halber an a < 0)
int(f(x)) = b + a
Läßt du nun a gegen -unendl und b gegen unendl gehen, so scheint das Integral gegen 0 zu konvergieren, richtig? Falsch. Denn unendlich - unendlich ist nicht gleich 0, sondern undefiniert.
Wenn du die Folge der Integrale int(f(x)) von a_n bis b_n mit a_n = -n, b_n = n betrachtest, so ist jedes Integral = 0, d.h. diese Folge konvergiert insgesamt gegen 0. Wo ist der Fehler? Du mußt die Integralgrenzen UNABHÄNIG voneinander gegen unendlich gehen lassen,. Setzt man z.B. statt dessen a_n = -n, b_n = 2n, so geht die Folge der Integrale gegen unendlich, setzt man a_n = -2n, b_n = n, so geht sie gegen -unendlich, also je nach Folge der Grenzen drei unterschiedliche Grenzwerte, das uneigenliche Integral ist also undefiniert.
Um diese "unabhängige" Betrachtung der oberen und unteren Grenze zu vermeiden verwendet man eben die Trennmethode, bei der sofort und ohne komplizierte Betrachtung klar ist dass der Integralwert hier divergent ist.
Verstehe ich nicht ganz kannst du das bitte nochmal bisschen einfacher erklären