Integral Reinfolge der Grenzen?
Ist es eigentlich immer der falls oder meistens dass wenn die obere Grenze größer als die untere ist dass das Integral dann positiv ist .Und wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere das es dann Negativ ist?
Denn irgendwie verstehe ich nicht das wenn ich f(x)=x hab und g(x)=x^2
Das integral von f(x)-g(x) obere Grenze 0 untere -1 <0 ist.
Und dass das integral von f(x)-g(x) obere Grenze 1 untere 0 >0 ist.
5 Antworten
Nein, Gegenbeispiel: ∫(x³ - 3x - 2) dx von 2 nach 1 ist positiv und von 1 nach 2 ist negativ. Es kommt darauf an, ob der Graph der Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. Mach Dir die Situation anhand einer Skizze klar.
Ist es eigentlich immer der falls oder meistens dass wenn die obere Grenze größer als die untere ist dass das Integral dann positiv ist
Nein. Das hängt völlig von den Funktionswerten ab. Ist die Funktion im Integrationsintervall komplett negativ, dann ist auch Integral negativ. Sind alle Funktionswerten positiv ist das Integral positiv.
Schwierig ist der Fall, wenn die zu integrierende Funktion im Integrationsintervall eine oder mehrere Nullstellen hat. Dann dann heben sich Integrale in Teilintervallen, in denen die Funktion negativ ist, mit Integralen in anderen Teilintervallen mit positiven Integralwerten gegenseitig auf. Und genau mit diesem Problem hat man zu tun, wenn man die von zwei Graphen eingeschlossen Fläche mit f(x) - g(x) berechnen muss und die Funktionen sich mehrfach schneiden.
PS: Obere und untere Intervallgrenzen zu tauschen ändert nur das Vorzeichen des Integrals. Ich würde immer "untere Grenze" kleiner als "obere Grenze" setzen, schon alleine deswegen, um mich nicht selbst in einen Vorzeichenfehler zu treiben.
obere Grenze +6 größer untere Grenze -5
Integral MINUS 131
Nein, das hängt von der Funktion ab.
Wenn die Funktion im Integrationsbereich negative Werte hat, dann ist es umgekehrt.
Versuche es einmal mit: f(x) = -x
Ist es eigentlich immer der falls
Nein.
Das Vorzeichen gibt Auskunft darüber, ob sich "mehr Fläche" über oder unter der x-Achse befindet.