Integral Beweis mit Mittelwertsatz?

Hallo,

ich soll folgenden Ausdruck mit dem Mittelwertsatz für Integrale beweisen, weiß jemand wie das geht?

Answer 1

[aperfect10]

Wende zuerst den Satz auf das Integral an.

Dann erhältst Du:

$\exists c\,\in(0,1)\colon\, \int^1_0 \frac{4-\sin(x)^2}{2+e^{-x}}\,dx = \frac{4-\sin(c)^2}{2+e^{-c}}$ Jetzt schätzt Du den Bruch

$\frac{4-\sin(c)^2}{2+e^{-c}}$ nach oben und nach unten ab mit dem Wissen, dass c in (0,1) liegt.

Mit der Monotonie der Exponentialfunktion erhältst Du dann Deine Aussage.

Wenn Du Fragen hast helfe ich gerne weiter.

Comments

[MrPotatoman]

Danke für die Antwort aber eine Abschätzung ist doch eigentlich kein Beweis oder?

[aperfect10]

@MrPotatoman

Doch! Das ist genau das, was Du machen sollst.

[aperfect10]

@aperfect10

Zeige, dass der Bruch durch 1 und 2 beschränkt ist. Dann hast Du es.

[MrPotatoman]

@aperfect10

okay danke und hast du bewusst das e vorm Bruch weggelassen?

[aperfect10]

@MrPotatoman

Nein, das e gehört da hin, hab ich vergessen. Macht aber nichts, die Vorgehensweise ist die gleiche.

Answer 2

[FunWithMath]

"Beweisen"? Der Mittelwertsatz hilft den Wert des Integrals zu schätzen. Beweisen tut man damit nicht viel...

Es gilt (f(x) ist deine Funktion):

$\int\limits_{0}^{1} f\left( x \right)\, \operatorname{d}x \approx f\left( c \right) \cdot \left( 1 - 0 \right) \wedge 0 \leq c \leq 1$

Sagen wir c = 0,25:

$\int\limits_{0}^{1} f\left( x \right)\, \operatorname{d}x \approx \exp\left(\frac{4-\left(\sin\left(0,25\right)\right)^{2}}{2+e^{-0,25}}\right) \approx 4,12655468696$

Und e < 4.12655468696 < e². Hier ist eine kleine visuelle interaktive Darstellung.

Wenn du interessiert bist an den genauen Wert des Integrals: 4,1268002359...

Ein tatsächlicher Beweis sähe eher so aus ("I" steht fürs Integral und alle Angaben gelten nur fürs Intervall [0, 1]):

Gegeben: e < I < e²
Wir wissen: Int_0^1 Konstante dx = Konstante
Gilt also e < f(x) < e², so gilt e < I < e².

Nutzen wir das Newtonverfahren auf f'(x) in [0, 1], so erhalten wir x = 0,51... als einzigen konvergenten Wert, f''(0,51...) = −3.0728141505 aka bei x ist der höchste Wert. Der Niedrigste muss an den Intervallgrenzen liegen (da es nur einen Extrempunkt gibt und der ist ein Hochpunkt):

f(0) <= f(x) <= f(0,51...) oder f(1) <= f(x) <= f(0,51...). Durch einsetzen und Ausrechnen sehen wir, dass ersteres stimmt, somit haben wir:

e <= 3,7936678946... <= I <= 4.24844503424 <= e²

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung