Stammfunmtion finden?
(2x^2 +3) / x^2
3 Antworten
Um die Stammfunktion der gegebenen Funktion \(\frac{2x^2 + 3}{x^2}\) zu finden, können wir die Funktion zunächst vereinfachen, indem wir die Terme im Zähler durch den Nenner teilen:
\[
\frac{2x^2 + 3}{x^2} = \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2} = 2 + \frac{3}{x^2}
\]
Jetzt haben wir die Funktion in eine einfachere Form gebracht:
\[
2 + 3x^{-2}
\]
Wir können nun die Stammfunktion der einzelnen Terme berechnen. Die Stammfunktion von \(2\) ist \(2x\) und die Stammfunktion von \(3x^{-2}\) ist \(-3x^{-1}\) (da \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) für \(n \neq -1\)).
Somit ist die Stammfunktion der Funktion:
\[
\int \left(2 + 3x^{-2}\right) \, dx = \int 2 \, dx + \int 3x^{-2} \, dx
\]
\[
= 2x + \left(-3x^{-1}\right) + C
\]
\[
= 2x - \frac{3}{x} + C
\]
Dabei ist \(C\) die Integrationskonstante.
Zusammengefasst lautet die Stammfunktion:
\[
\int \frac{2x^2 + 3}{x^2} \, dx = 2x - \frac{3}{x} + C
\]
Der kann das besser vorrechnen:
https://www.integralrechner.de/#expr=%282x%5E2%20%2B3%29%20%2F%20x%5E2
Das Ergebnis ist:
Und der Knackpunkt ist im Grunde nur:
Tipp: (2x²+2)/x² = 2+2/x²