Sind die Nullstellen der Ableitung die Extremstellen der ursprünglichen Funktion?
Wenn bei einer Funktion ein Extrempunkt vorliegt, ist die dazugehörige Extremstelle ja eine Nullstelle der Ableitung.
Aber gilt das auch andersrum immer?
Also kann ich wenn ich die Ableitung gegeben habe und eine Nullstelle vorliegt, gleich darauf schließen dass genau dort eine Extremstelle bei der Funktion liegt?
Danke im Voraus
5 Antworten
Nein, es handelt sich nur um ein notwendiges und nicht um ein hinreichendes Kriterium für ein Extremum.
Nein, es könnte auch ein Horizontalwendepunkt (Sattelpunkt) vorliegen.
Wenn die zweite Ableitung größer als 0 ist, dann hat man ein Minimum, wenn sie kleiner als 0 ist, ein Maximum. Wenn sie 0 ist, dann hat man ein Problem 😉.
Du musst Dir doch nur klarmachen, dass die erste Ableitung der Steigung der Grundfunktion entspricht.
Also: Wann kann die Grundfunktion die Steigung Null haben? Nur bei den Extremwerten oder gibt es auch andere mögliche Punkte?
Zusätzlich muss die zweite Ableitung untersucht werden (ist sie ungleich 0, hast du gewonnen, ist sie aud 0, bist du so schlau wie vorher) oder (meine Empfehlung) die Ableitung an dieser Stelle auf Vorzeichenwechsel untersuchen. Daran siehst du ggf. auch, um welche Art des Extremums es sich handelt.
Könntest du vielleicht kurz erklären wie du das mit Vorzeichenwechsel untersuchen meinst, bzw. wie du da vorgehen würdest?
Nullstelle von f' bestimmen, "ein Stückchen" links davon und rechts davon Vorzeichen von f' bestimmen:
+ - (erst aufwärts, dann abwärts) -> Maximum
-+ Minimum
++ oder --- Sattelpunkt.
Aber gilt das auch andersrum immer?
Die Antwort ist (sofern sie nur die Schulmathematik betrifft): Ja, wenn wir zu den Extremstellen noch die Sattelpunkte dazu nehmen.
Denn da hat man normalerweise nur mit einfachen Polynomfunktionen, Sinus-/Cosinus-Funktionen oder der e-Funktion zu tun, die so konstruiert sind, dass die jeweilige Aufgabe ("Integrieren Sie...", "Leiten Sie ab...") auf jeden Fall lösbar ist.
In der realen Welt der Funktionen gibt aber auch einige Kandidaten, die nicht (so einfach) integrierbar oder differenzierbar sind. Da kann es durchaus vorkommen, dass ein Extrempunkt in der Funktion existiert, aber dessen Ableitung (sofern sie existiert) dort keinen Nulldurchgang hat.
Wie finde ich raus ob eine Nullstelle der Ableitung eine Extremstelle mit Extrempunkt ist oder ein Sattelpunkt?