Matheaufgaben?
Folgende Matheaufgaben: Ich habe eine Funktion f(x) gegeben und muss den Anstieg von F(x) an der Stelle x=5 berechnen.
Wie muss ich das machen, wenn ich den Anstieg von F(x) an der jeweiligen Stelle berechnen soll?
Dann habe ich noch eine zweite Aufgabe. Da muss ich die Stammfunktion bestimmen, sodass der Wendepunkt von F(x) P(xW/2) lautet. Brauch ich die Ableitungen von F(x) oder wie mach ich das genau?
4 Antworten
Wenn F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, dann ist der Anstieg von F(x) an der Stelle x=5 f(5).
Die zweite Aufgabe ist zu ungenau beschrieben, da kann ich leider nicht helfen.
Du brauchst die zweite Ableitung, um den Wendepunkt zu bestimmen. Dann ermittelst Du die Integrationskonstante C, sodass der Wendepunkt den gewünschten Funktionswert hat.
Vermutung: An Wendepunkten ist die zweite Ableitung 0. Zweite Ableitung einer Stammfunktion wäre erste Ableitung der Funktion.
Die Steigung ermittelt man mit der ersten Ableitung.
Also wenn du F(x) und f(x) gegeben hast, musst du einfach f(x = 5) einsetzen und den Wert berechnen.
Wenn Du jetzt in der Fragestellung ganz bewusst zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden hast (F(x) versus f(x)), dann ist die Steigung von F(x) bei x=5 gleich f(5), da gilt F'(x) = f(x).
Den zweiten Teil Deiner Frage verstehe ich nicht.
F(x) ist meist das Integral? f(x) ist dann die Ableitung von F(x).
Ja genau. Ich verstehe nicht, warum f(x) die Ableitung von F(x) ist. Müsste nicht F‘(x) die Ableitung von F(x) sein?
F‘(x) ist f(x), falls f(x) integrierbar ist. Überleg doch mal, was eine Ableitung macht. Du bildest den Differenzenquotienten und davon den Grenzwert für gegen 0 laufende Differenzen von x. Und das F(x) ist, die Funktionswerte mal ein kleines dx (das wir gegen 0 gehen lassen) für x, x+dx, x+2dx etc. zusammenzuzählen. Das sind genau inverse Operationen. Wenn Du Dir das mal aufmalst, dann wirst Du sehen, die Ableitung von F kommt dann genau auf f(x) raus.
Okay danke dir. Könntest du mir bitte anhand eines Beispiels zeigen, dass F‘(x) f(x) ist?
(F(x+dx) - F(x)) / (x + dx - x) = (f(x+dx) * dx) / (x + dx - x) = f(x+dx), und im Limes dx -> 0 ist das genau f(x)
Das ist kein Beispiel, das ist dere Beweis. Der schwierige Schritt ist beim ersten Gleichzeichen. Da ziehst Du zwei lange Summen voneinander ab, und was übrig bleibt ist f(x+dx)
Mach es doch mal für ein konkretes Beispiel. f(x) = x, z.B.
Ja, schon, das Ergebnis stimmt, aber wie kommst Du denn auf die Stammfunktion?
Du berechnest die Stammfunktion dadurch, dass Du eine Summe bildest und dann einen Grenzwert bildest. Das steht hoffentlich in Deinem Mathebuch. Mach das bitte mal für f(x) = x.
Okay dankeschön. Bei der 2. Aufgabe muss eine Stammfunktion bestimmt werden, dessen Wendepunkt die y-Koordinate 2 hat. Da muss ich dann doch f(x) ableiten und dann 0 setzen oder?