Kann mir bitte jemand bei dieser Extremwertaufgabe helfen?
Gegeben ist Folgende Aufgabe:
Ich weiß echt nicht wie ich hier anfangen soll.
Ich hoffe jemand von euch kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Schon mal Danke im Voraus!
Lg. Michi
5 Antworten
Kreislänge = 2y*pi. Seitenlänge der Geraden = 2x
Insgesamt l = 400 m = 2y * pi + 2x = 2 * (y*pi + x)
Fläche ist x*y
Zwei Möglichkeiten: Erstens Lagrange-Funktion (geht, etwas kompliziert) oder einfacher: Wir Ersetzen x durch y mit obiger Gleichung:
400 = 2 * (y* pi + x) --> 200 = y * pi + x --> x = 200 - y*pi
Dann ist die Fläche (x,y): xy = (200 - y * pi) * y = 200y - y²*pi = Fläche(y)
Das ableiten: Fläche(y)' = -2y * pi + 200 = 0
und der Rest ist easy
Wenn die grüne Fläche ein Quadrat mit der Seitenlänge x ist und x = (200 - y * pi) ist, dann ist die grüne Fläche (200 - y * pi)²
Wenn Du y um 45 Grad hochdrehst, dann siehst Du einen bestimmten Abschnitt auf der Rasenfläche.
y ist dabei gleichzeitig der Radius des (Halb-)kreises.
Du hast also einen auseinandergeschnittenen Kreis, einen links und einen rechts. Da es 2 Halbkreise sind, ist Teil der Laufstrecke ein ganzer Kreis.
Mit anderen Worten: Der Kreisumfang ist Teil der Laufstrecke.
Jetzt brauchst Du x: Subtrahiere also den Kreisumfang von 400 und dividiere das Ergebnis durch 2. Weil die Läufer ja einmal hin und dann her laufen auf der snderen Seite.
Das grüne Rechteck ist maximal, wenn es ein Quadrat ist.
Also x = 2y
und 400 m = 2*x + 2 * pi * y
also:
400 = 4*y + 2 * pi * y
200 = (2 + pi) * y
y = 200 / (2 + pi)
Ist nur ein Schnellschuss, bitte prüfen.
Also auf jeden Fall gilt schon einmal die Bedingung, dass 2*x + 2*Pi*y = 400 gelten muss. Denn die zwei Halbkreis ergeben zusammen einen Kreis mit dem Umfang 2 Pi y. Die Sternchen sollen Malpunkte sein.
Also gilt:
400 = 2*x + 2*Pi*y
D.h. x = 200 - Pi * y
Das x kann man also auch nur mit y ausdrücken und daher setzt du nun in die Zielfunktion für x eben 200 - Pi * y ein. Also erhälst du:
Z = (200 + Pi * y)²
Davon bestimmst du nun das y, wofür die Funktion maximal wird.
Dann ersetzt du das y mit dieser Zahl in der Gleichung
400 = 2*x + 2*Pi*y
und bestimmst das x.
Ich muss mich korrigieren:
Fläche(y) = 2y * x = 2y * (200 - y * pi) = 400y - 2y²
Die Fläsche ist (200 - y * pi)², nicht (200 - y * pi) * y.