Wie löst man diese Extremwertproblemaufgabe?
Hallo, wir haben heute in Mathe mit dem Thema Extremwertaufgaben begonnen. Jetzt sitze ich schon eine gefühlte Ewigkeit vor meiner Mathehausaufgabe und habe keine Ahnung wie ich anfangen soll. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen. Die Aufgabe lautet so: "Die Summe zweier positiver, rationaler Zahlen ist 15. Bestimme das Zahlenpaar, bei dem das Produkt der beiden Zahlen einen möglichst großen Wert hat." Ich wäre schon über einen Ansatz sehr dankbar :) lg Lilly
3 Antworten
Erstmal würde ich den Text in Mathesprache übersetzen.
x, y ∈ ℚ⁺
max! f(x, y) = xy u. d. N x + y = 15
Als erstes würde ich versuchen, die Nebenbedingung in die Funktion einzuflechten.
y = 15-x
f(x) = x(15-x) = -x² + 15x → max
Ableitung ist f'(x) = -2x + 15 != 0
f''(x) = -2 < 0
2x = 15
x = 7,5 (rational)
y = 15-x = 7,5 (rational)
(x|y) = (7,5|7,5)
Da die beiden Werte für x und y rational sind, haben wir Glück gehabt.
Bezeichne einmal die beiden gesuchten Zahlen mit Buchstaben, z.B. x und y.
Führe dann folgende Bedingungen in mathematisch formulierte Zeilen um:
1.) die beiden Zahlen sollen die Summe 15 haben
2.) das Produkt p der beiden Zahlen (p = ...........) soll einen möglichst großen Wert erhalten.
Und dann guck dir nochmals das Beispiel oder die Beispiele an, die ihr schon in der Schule gezeigt bekommen habt.
Bei solchen Aufgaben hast Du immer eine Vorgabe und einen "Extremwunsch", d. h. irgendetwas soll minimal/maximal werden.
Die Vorgabe hier ist, dass 2 Zahlen (a und b) die Summe 15 ergeben sollen, also: a+b=15
Das Produkt aus a und b soll maximal werden, also a * b = max. Das, was maximal werden soll, drückst Du als Funktion aus, die von einem der beiden Werte abhängt, also f(a)=a * b oder f(b)=a * b. Da Du aber nicht mit 2 Unbekannten in einer Funktionsgleichung hantieren kannst, musst Du eine ersetzen, indem Du die Vorgabe entsprechend umformst und dann in diese Gleichung einsetzt...
Dann wie gewohnt ableiten um die Extremstelle ermitteln zu können.