Extremwertaufgabe Abitur Lösungshilfe?

Hallo, muss folgende Aufgabe und habe bereits eine Haup-und Nebenbedingung aufgestellt (bin mir sehr sicher das die passen).

Komme allerdings jetzt beim Auflösen der zusammengesetzten Gleichung überhaupt nicht weiter.... Das Pi ist mein Hauptproblem

Ich hoffe ein paar schlaue Köpfe schaffen das! Vielen dank

Answer 1

[evtldocha]

$Gesamtfläche\ =\ Rechteck\ +\ Halbkreis$ $Rechteck:\ r(x)\ =\ 2x⋅x=2x^2$ $Halbkreis:\ h\left(r\right)\ =\ \frac{1}{2}\pi r^2$

Nun ist:

$2r=2x-4\ =>r=x-2$

Und damit die Halbkreisfläche in Abhängigkeit von x (Ausmultiplizieren mit binomischer Formel)

$h\left(x\right)=\frac{1}{2}\pi⋅(x−2)^2=\frac{1}{2}​\pi⋅(x^2−4x+4)=\frac{1}{2}\pi x^2−2\pi x+2\pi$

Nun beide Flächen addieren und x² zusammenfassen (ausklammern).

$A\left(x\right)\ =\ 2x^2+\frac{1}{2}\pi x^2\ -2\pi x\ +2\pi\ =\ \left(2+\frac{1}{2}\pi\right)x^2-2\pi x\ +\ 2\pi$