Hey, könnte mir eventuell jemand sagen, ob hierbei das Monotonieverhalten einer Funktion richtig bestimmt habe?
Hey, die Aufgabe lautet: Liegt bei der folgenden Funktion f die strenge Monotonie oder nur die „normale“ Monotonie (also z.B. nur monoton steigend) vor? Begründe deine Entscheidung und formuliere dies in einem Satz.
Dies ist die Funktion und meine Lösung dazu:
Vielen Dank.
2 Antworten
Deine Begründung hakt.
Wenn eine Funktion streng monoton steigend ist, dann ist sie natürlich auch monoton steigend. Wenn du also zeigst, dass sie monoton steigend ist, dann hast du noch nicht gezeigt, dass sie nicht streng monoton steigend ist. Das musst du aber tun.
Hier hast du eine Funktion, die offenbar monoton ist, das bedeutet ja die Gleichung
Für alle x > y gilt f(x) >= f(y).
Du musst jetzt aber noch schreiben, warum sie nicht streng monoton ist. Streng monoton ist sie dann, wenn
Für alle x > y gilt f(x) > f(y).
Und das ist in dem Bereich der Fall, in dem die Funktion konstant.
Nur die erste Aussage reicht nicht aus.
Vielleicht hilft dir eine Analogie. Statt Funktionen nehmen wir mal Pflanzenteile. Ich kann dann sagen:
Es gibt Früchte (monotone Funktionen) und es gibt rote Früchte (streng monotone).
Jetzt gibt dir jemand einen Banane und fragt: Ist das eine rote Frucht oder ist das nur eine Frucht? Dann musst du nicht nur erklären, warum das eine Frucht ist, sondern auch noch, dass sie nicht rot ist. Nur zu erklären "das ist eine Frucht" (=das ist eine monotone Funktion) reicht nicht auch.
Die korrekte Bestimmung des Monotonieverhaltens im ersten Intervall ist also:
Die Funktion ist im ersten Intervall monoton steigend, denn für alle x > y gilt f(x) >= f(y). Sie ist aber nicht streng monoton steigend, denn es gibt x > y mit f(x) = f(y) (im konstanten Bereich der Funktion). Für diese x, y ist die Bedingung der strengen Monotonie nicht erfüllt, denn es müsste f(x) > f(y) gelten. Die Funktion ist im ersten Intervall also NUR monoton steigend.
Richtig wäre: Sie ist im ersten Intervall nicht streng monoton steigend, da nicht für alle x1, x2 mit x1<x2 auch f(x1)<f(x2) gilt.
Irgendwelche x1, x2 für die das gilt, kannst du ja finden. Es kommt auf die an, für die x1<x2 gilt.
Achso, meinst du, dass es bei manchen x1 und x2 eben trotzdem kurz gilt, es aber jedoch nicht dauerhaft ist und man deshalb „nicht für alle“ schreiben sollte?
Die Begründung sollte so stimmen, wahrscheinlich dürfte es auch reichen wenn du einfach sagst, dass die Steigung in einem Punkt 0 ist
Okay, aber die Regel die Regeln, welche ich in dem Satz verfasst habe stimmen auch, oder?
Okay, vielen Dank für deinen Kommentar. Ein sehr guter Kommentar! Im sicherzugehen: Ich müsste also noch begründen, weshalb es nicht streng monoton steigend/fallend ist? Dies begründe ich dann mit: Es ist im ersten Intervall nicht streng monoton steigend, da nicht f(x1)<f(x2) gilt.