Hey, ist dieser folgende Bereich der Funktion streng monoton fallend, oder nur monoton fallend?
Hey, mir geht es um die Frage c) (siehe Bild).
Ich hätte nur gesagt, dass der Intervall [1;3] nur monoton fallend ist, da f‘(x)=<=0 gilt und dies für monoton fallend spricht.
In den Lösungen steht jedoch, dass dieser Intervall streng monoton fallend sei, da f‘(x)=<0 gilt.
Was stimmt denn nun wirklich? Bei X-Werte 1 und 3 ist doch die Ableitungsfunktion gleich Null, oder nicht?
Vielen Dank.
1 Antwort
Die Definition für "streng monoton fallend" ist nicht f' < 0, sondern
aus x1 < x2 folgt f(x1) > f(x2)
f(x) = -x³ ist streng monoton fallend obwohl f'(x) für x = 0 gleich 0 ist.
Innerhalb des gesamten Intervalls ist die Steigung negativ, an den Rändern zwar 0, aber links bzw rechts davon dürfen ja Werte nicht mehr betrachtet werden, da das ja außerhalb des Intervalls ist (es heißt übrigens das Intervall)
Wie gesagt: aus f' < 0 folgt strenge Monotonie, nicht aber umgekehrt.
Ja, aber es ist doch an den Ränder gleich 0 und gilt somit dann nicht f‘(x)=<=0?
Nochmal: Bei f'(x) kleiner 0 ist strenge Monotonie nachgewiesen. Die Umkehrung gilt nicht, aus strenger Monotonie kann man nicht schließen, das f' in dem Intervall nirgends 0 sein darf.
Ja, aber bei den Werten X=1 und X=3 ist es doch gleich Null und nicht kleiner Null und das gehört doch auch noch zu dem Intervall, oder?
Zum dritten mal: Es darf die Ableitung = 0 sein, nur nicht ein Funktionswert (der Ausgangsfunktion) links größer als rechts. Werte links von 1 sind aber nicht zugelassen, da die außerhalb des Intervalls sind
Eine Funktion f : D → R , wobei D eine Teilmenge von R ist, heißt
- monoton steigend, wenn für alle x , y ∈ D mit x ≤ y gilt, dass f ( x ) ≤ f ( y ) .
- streng monoton steigend, wenn für alle x , y ∈ D mit x < y gilt, dass f ( x ) < f ( y ) .
Achso, also müsste quasi die Linie des Ableitungsgraphen beispielsweise bei den X-Werten 1,2 und 3 auf der x-Achse sein und dann beispielsweise noch etwas unter der x-Achse und dann wäre die Ausgangsfunktion dort in diesem Intervall nur monoton steigend?
Der Ableitungsgraph darf nie > 0 sein (und nur an jeweils einer Stelle = 0)
Letztendlich muss eben erreicht werden, dass für einen wert x1 links von einem x2 f(x1) > f (x2) ist. Und links neben 1 gibt es keinen, da da das Intervall abgehackt ist.
Okay, also wenn der Punkt auf der X-Achse auch noch Null wäre, dann wäre es monoton fallend, da dann 0.5 und 1 quasi gleich sind?
Könnte ich hier ein Bild in den Kommentaren einfügen, dann würde ich es dir aufzeichnen?
Es wäre aber extrem wichtig für mich. Wäre es okay, wenn ich eine neue Frage veröffentliche?
Hey, vielen Dank für deine Antwort. Wir haben hierbei doch aber eine Ableitungsfunktion vorliegen und müssen nun das Monotoniekriterium anwenden, wonach streng monoton fallend gilt, wenn f‘(x)=<=0 ist. Wie sieht es aber nur in dem einen Intervalle bei der Aufgabe c) aus?