Grenzwert verhalten verstehen?

Ayo.. ich habe irgendwie immer Problem damit zu verstehen wie Grenzwerte wirklich Funktionieren.

Es ist auch ein wenig peinlich es immer noch nicht zu verstehen, allerdings würde ich es gerne verstehen aber kriege es nicht hin.

Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich verstehe wie sich eine Funktion verhält wenn es gegen 0 oder gegen unendlich geht.

Hier ein Beispiel

Hier kannan zum Beispiel L'Hospital verwenden weil es gegen 0/0 geht. Danach kann man ja ableiten etc. und danach kommt zum Schluss 1 raus.

Aber da sowas ich nie verstehe ist warum (e^x-1)/x gegen 0/0 gehen soll. Also ich verstehe nicht wirklich wie es mir vorstellen soll, wenn etwas (hier x) gegen 0 laufen soll und warum es hier 0/0 ergibt.

Wie kann man es schnell erkennen bzw wie muss ich dieses Verhalten (gegen was es geht) verstehen?. Kann mir jemand es einfacher erklären?

Answer 1

[Yrral]

Um den Grenzwert zu verstehen, ist es immer wichtig, Zähler und Nenner getrennt zu betrachten.

Da hast Du dann 9 Möglichkeiten.

a) Zähler konvergiert zu einer Zahl z und Nenner zu einer Zahl n. Dann ist der Grenzwert z/n.

b) Zähler konvergiert zu einer Zahl z und Nenner zu 0. Dann hast Du eine Polstelle und das Ergebnis z/n konvergiert gegen - oder + unendlich. Das ist abhängig von welcher Seite aus, sich dem Grenzwert angenähert wird.

c) Zähler konvergiert zu z und Nenner zu unendlich. Dann konvergiert z/n gegen 0.

d) Zähler konvergiert zu 0 und Nenner zu einer Zahl n. Und z/n konvergiert zu 0.

e) Zähler konvergiert zu 0 und Nenner 0. Grenzwert z/n lässt sich nicht direkt ableiten und Du musst weitere Betrachtungen (bsp. L'Hospital) anwenden.

f) Zähler konvergiert zu 0 und Nenner zu unendlich. z/n konvergiert zu 0.

g) Zähler konvergiert zu unendlich und Nenner zu einer Zahl n. z/n konvergiert zu unendlich. Ob Minus oder Plus ist vom Vorzeichen des Zählers und des Nenners abhängig.

h) Zähler konvergiert zu unendlich und Nenner zu 0. Dann konvergiert z/n gegen unendlich. Ob Minus oder Plus ist wieder davon abhängig von welcher Seite aus der Grenzwert betrachtet wird.

I) Zähler konvergiert zu unendlich und Nenner zu unendlich. Jetzt lässt sich z/n wieder nicht direkt ableiten und es ist eine Frage, ob die Ordnung von z oder n größer ist, oder ob beide Ordnungen gleich sind, was als Ergebnis rauskommt.

Das ist jetzt nicht perfekt erklärt, aber vielleicht schon mal einen Weg in die richtige Richtung.

Answer 2

[evtldocha]

 Aber da sowas ich nie verstehe ist, warum (e^x-1)/x ...

Betrachte Zähler und Nenner separat.

Zähler:

$\lim_{x\to0}e^x-1=\left(\lim_{x\to0}\ e^x\right)\ -1\ =\ 1-1\ =0$

Nenner:

$\lim_{x\to0}\ x\ =\ 0$

Aber bitte schreib niemals, dass etwas gegen 0/0 geht!

Answer 3

[Marouane243]

Aber da sowas ich nie verstehe ist warum (e^x-1)/x gegen 0/0 gehen soll. Also ich verstehe nicht wirklich wie es mir vorstellen soll, wenn etwas (hier x) gegen 0 laufen soll und warum es hier 0/0 ergibt.

Weil e^0 = 1 und du dann 1-1/0 rechnest.

Aber merke, es ist der Limes, also 0 wird nie erreicht. 0/0 ist genau so wie ∞/∞ ein unbestimmten Ausdruck.

Damit ist einfach eine sehr hohe/niedriger Zahl gemeint.

Woher ich das weiß: Hobby – Iwas mit Zahlen und so.

Answer 4

[Halbrecht]

man kann hilfsweise Zahlen einsetzen und rechnen 

.

gegen 0 

(achtung : von welcher Seite ? + oder - ? )

.

von links

das hilft , eigene falsche Ansätze zu erkennen

Sorry, aber ich wundere mich über deinen Schwierigkeiten . Denn setzt man 0 ein im Zähler ,erhält man 1 -1