Grenzwert Funktion (bestimmte Divergenz)?
Wie weiße ich bestimmte Divergenz folgender Funktion nach:
Nach Äquivalenzumformungen und eliminieren der Nullfolgen komme ich auf einen Grenzwert von 2n, sprich + Unendlich, wenn man n gegen + Unendlich laufen lassen würde.
Meine Frage ist jetzt, wie weiße ich nach, dass das bestimmt divergent ist?
1 Antwort
Nach Äquivalenzumformungen und eliminieren der Nullfolgen komme ich auf einen Grenzwert von 2n
Dieses Vorgehen hört sich gut an.
Hier kann man auch die Definition von uneigentlicher Konvergenz für einen konstruktiven Beweis hernehmen: Der Zähler ist zwischen 4 und 5 und der Nenner zwischen 2 und 12 für alle n ∈ ℕ. Der Bruch ist somit immer größer oder gleich 4/12 = 1/3, also aₙ ≥ n/3. Zu jedem c ∈ ℝ kann ich also n ≥ 3c nehmen und aₙ ≥ c.
Man muss nicht auf den Wert kommen müssen. Das ist nur eine Abschätzung, dass man sicher weiß, dass der Bruch immer ≥ 4/12. In diesem Fall gilt sogar ">".
Das ist ein häufiges Vorgehen in der Analysis. Die Folge (n + 1) könnte man ebenso durch (n) abschätzen und aus der uneigentlichen Konvergenz von (n) die uneigentliche Konvergenz von (n + 1) folgern. Auch hier wäre n + 1 ≥ n für alle n ∈ ℕ. Dass es sogar strikt größer ist, ist egal.
Sorry, aber was bedeutet dieses C und wie kommst du auf n größer gleich 3c...
Ich verstehe das nicht so ganz. C ist doch eine Grenze oder was?
Könntest du das mal konkret an dem Beispiel mal zeigen?
Hier wird M statt c verwendet.
Die Definition von bestimmter Konvergenz von (aₙ) gegen ∞ ist, dass es für alle M ∈ ℝ ein N ∈ ℕ gibt, sodass für alle n > N gilt, dass: aₙ > M. Die Ungleichheitszeichen kann man in der Definition jeweils auch durch ≥ ersetzen.
Wenn man strikt nach dieser Definition beweisen will, kann man sich eine Funktion konstruieren, die jedem M ein N zuordnet, das die Voraussetzung "für alle n > N gilt, dass: aₙ > M" erfüllt.
Bei der Folge aₙ = n kann man N = M wählen und "für alle n > N gilt, dass: aₙ > M" wäre trivialerweise erfüllt.
In der vorgegebenen Aufgabe kann man N = 3M wählen.
Dein Ergebnis reicht bei der Aufgabe vielleicht auch schon. Wenn man Grenzwertsätze schon hatte, kann man sagen, dass ein Faktor gegen eine positive Konstante konvergiert und der andere uneigentlich gegen unendlich, also geht das Produkt gegen unendlich.
Ich habe nur nochmal gezeigt, wie man das anhand der Definition nachweisen kann ohne irgendwelche Grenzwertsätze.
Kurze Frage: Wieso rechnest du einfach 4/12... Ich mein mir ist klar, dass das der kleinstmögliche Wert ist, aber den kann man doch nicht erreichen, weil du im Zähler für n = 0 einsetzen würdest und im Nenner n = 1 um auf deinen besagten Bruch von 4/12 zu kommen. Könntest du das nochmal erklären?