Verhalten im Unendlichen von ln(x)/x
Die Funktion ln(x)/x läuft im unendlichen degen 0, aber wenn ich mal davon ausgehe, dass ln(unendlich) gleich unendlich ist(streng genommen falsch, aber hier denke ich unwichtig), dann ergibt das für mich unendlich/unendlich, was undefineirt ist... Wie errechne ich den Grenzwert im Unendlichen?
4 Antworten
Ich habe mal versucht, das allgemein zu zeigen:
a=ln(x)/x |e^()
e^a=x^(1/x)
lim x->∞ e^a=x^(1/x)
1/x -> 0 also x^(1/x)->1
e^a->1 |ln()
a->0
Habe außer Gymnasialbildung (noch) nichts weiter vorzuweisen, möchte also Formfehler nicht ausschließen
Ich verstehe diesen Schritt nicht
a=ln(x)/x |e^()
e^a=x^(1/x)
Hab mal aufgeschrieben was ich denke was da raus kommt, hoffe das Bild kommt an...
Hast Recht!
Danke für die Antwort.
Mit Bernoulli und L' Hospital gehts auch, finds aber besser wie du es gemacht hast!
Beim Bruch musst du schauen, was schneller wächst: Zähler oder Nenner...?
Ist ln(x) für große x größer, als x ? - Oder kleiner?
Und wie verhält sich dann der Bruch? ;)
ln(x) von einem großen x-Wert ist natürlich kleiner als der Wert selbst, daraus würde sich für mich zwangsläufig ewrgeben, dass die Funftion gegen 0 geht... Außerdem mag ich dieses was schneller wächst nicht so... das ist ja mehr ne empirische als ne richtig mathematische Lösung.
Richtig mathematisch wird es, wenn du nachweist, dass ln(x) für x -> unendlich immer kleiner ist, als x für x -> unendlich...
Mir persönlich reicht die 'empirische Begründung' vollkommen. ;)
Woher bist du dir so sicher das x soviel schneller Ansteigt, als ln(x)? Es könnte ja auch im Verhältniss 1/125 oder sowas auseinanderliegen... Dann würde der Grenzwert bei 1/125 liegen. Deine Methode klappt vermutlich meistens, aber für mich ist sie nicht 100% nachvollziehbar ;) Und sie muss theoretisch nicht immer stimmen..
Ich hab die Antwort mitlerweile im Unterricht bekommen. In dem man die Ableitung von ln(x) und von x bildet(nicht die Ableitung von ln(x)/x) und sie wieder als Bruch aufschreibt(das ganze nennt sich Regel von Bernoulli und L'Hospital) erhält man das richtige Ergebnis:
1/x für den Zähler, was für x=unendlich Null wird und 1 für den Nenner
Das ergibt 0
warum die Regel funktioniert weiß ich nicht und bei Wikipedia steht auch sie gilt nur wenn Zähler und nenner Null werden und nicht unendlich, aber laut Professorin gilts auch bei unendlich durch unendlich.
Krankenhausregel: Gehen Zähler- und Nennerfunktion eines Bruches nach unendlich oder nach Null so ergibt sich der Grenzwert des Bruches aus dem Quotienten der Ableitungen von Zähler- und Nennerfunktion. Das kann perpetuiert werden.
und nicht unendlich
Doch, das steht bei Wikipedia: bestimmt divergierend
aber laut Professorin gilts auch bei unendlich durch unendlich.
Korrekt.
Das stimmt nicht ganz, wenn du alles e^() nimmst, wird das auf jeder Seite gemacht, also ist a=ln(x)/x <=> e^a=e^(ln(x)*1/x)
e^(ln(x)*1/x) kann man laut Potenzregeln auch so schreiben: (e^ln(x))^(1/x).
Da e^ln(x)=x ist, kommt dann also e^a=x^(1/x) heraus.